奇异值分解（SVD）方法求解最小二乘问题的原理

@

目录

• 一、奇异值分解(SVD)原理
  • 1.1 回顾特征值和特征向量
  • 1.2 SVD的定义
  • 1.3 求出SVD分解后的U,Σ,V矩阵
  • 1.4 SVD计算举例
  • 1.5 SVD的一些性质
• 二、线性最小二乘问题
  • 2.1 最小二乘问题复习
  • 2.2 奇异值分解与线性最小二乘问题
• 参考链接
• 打赏

一、奇异值分解(SVD)原理

1.1 回顾特征值和特征向量

　　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

[Ax=λx ]

其中A是一个n×n的实对称矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值(λ_1≤λ_2≤...≤λ_n),以及这n个特征值所对应的特征向量(w_1,w_2,...,w_n)，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

[A=WΣW^−1 ]

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足(||w_i||_2=1), 或者说(w^T_iw_i=1)，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足(W^TW=I)，即(W^T=W^−1), 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成

[A=WΣW^T ]

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

1.2 SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

[A=UΣV^T ]

其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足(U^TU=I,V^TV=I)。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

1.3 求出SVD分解后的U,Σ,V矩阵

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵(A^TA)。既然ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

[(A^TA)v_i=λ_iv_i ]

这样我们就可以得到矩阵(A^TA)的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将(A^TA)的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵(AA^T)。既然(AA^T)是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

[(AA^T)u_i=λ_iu_i ]

这样我们就可以得到矩阵(AA^T)的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:
(A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i)
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

[A=U Sigma V^{T} Rightarrow A^{T}=V Sigma^{T} U^{T} Rightarrow A^{T} A=V Sigma^{T} U^{T} U Sigma V^{T}=V Sigma^{2} V^{T} ]

上式证明使用了:(U^TU=I,Σ^TΣ=Σ^2)。
可以看出(A^TA)的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到(AA^T)的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

[sigma_{i}=sqrt{lambda_{i}} ]

这样也就是说，我们可以不用(sigma_{i}=A v_{i} / u_{i}=)来计算奇异值，也可以通过求出(A^TA)的特征值取平方根来求奇异值。

1.4 SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

[mathbf{A}=left(egin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 0 end{array} ight)]

我们首先求出(A^TA)和(AA^T)

[egin{array}{c} mathbf{A}^{mathbf{T}} mathbf{A}=left(egin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 end{array} ight)left(egin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 0 end{array} ight)=left(egin{array}{ll} 2 & 1 \ 1 & 2 end{array} ight) \ mathbf{A} mathbf{A}^{mathbf{T}}=left(egin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 0 end{array} ight)left(egin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 end{array} ight)=left(egin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 1 end{array} ight) end{array}]

进而求出(A^TA)的特征值和特征向量：

[lambda_{1}=3 ; v_{1}=left(egin{array}{c} 1 / sqrt{2} \ 1 / sqrt{2} end{array} ight) ; lambda_{2}=1 ; v_{2}=left(egin{array}{c} -1 / sqrt{2} \ 1 / sqrt{2} end{array} ight)]

接着求(AA^T)的特征值和特征向量：

[lambda_{1}=3 ; u_{1}=left(egin{array}{c} 1 / sqrt{6} \ 2 / sqrt{6} \ 1 / sqrt{6} end{array} ight) ; lambda_{2}=1 ; u_{2}=left(egin{array}{c} 1 / sqrt{2} \ 0 \ -1 / sqrt{2} end{array} ight) ; lambda_{3}=0 ; u_{3}=left(egin{array}{c} 1 / sqrt{3} \ -1 / sqrt{3} \ 1 / sqrt{3} end{array} ight)]

利用(Av_i=σ_iu_i,i=1,2)求奇异值：

[egin{array}{l} left(egin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 0 end{array} ight)left(egin{array}{c} 1 / sqrt{2} \ 1 / sqrt{2} end{array} ight)=sigma_{1}left(egin{array}{c} 1 / sqrt{6} \ 2 / sqrt{6} \ 1 / sqrt{6} end{array} ight) Rightarrow sigma_{1}=sqrt{3} \ left(egin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 0 end{array} ight)left(egin{array}{c} -1 / sqrt{2} \ 1 / sqrt{2} end{array} ight)=sigma_{2}left(egin{array}{c} 1 / sqrt{2} \ 0 \ -1 / sqrt{2} end{array} ight) Rightarrow sigma_{2}=1 end{array}]

当然，我们也可以用$$sigma_{i}=sqrt{lambda_{i}}$$直接求出奇异值为(sqrt{3})和1.
最终得到A的奇异值分解为：

[A=U Sigma V^{T}=left(egin{array}{ccc} 1 / sqrt{6} & 1 / sqrt{2} & 1 / sqrt{3} \ 2 / sqrt{6} & 0 & -1 / sqrt{3} \ 1 / sqrt{6} & -1 / sqrt{2} & 1 / sqrt{3} end{array} ight)left(egin{array}{cc} sqrt{3} & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 end{array} ight)left(egin{array}{cc} 1 / sqrt{2} & 1 / sqrt{2} \ -1 / sqrt{2} & 1 / sqrt{2} end{array} ight)]

1.5 SVD的一些性质

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

[A_{m imes n}=U_{m imes m} Sigma_{m imes n} V_{n imes n}^{T} approx U_{m imes k} Sigma_{k imes k} V_{k imes n}^{T} ]

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵(U_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n})
来表示。

如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

二、线性最小二乘问题

2.1 最小二乘问题复习

[egin{array}{l} min |A x-b|_{2}^{2} \ A in R^{m^{* n}} quad x in R^{n} quad b in R^{m} end{array}]

m个方程求解n个未知数，有三种情况：

• m=n且A为非奇异，则有唯一解，(x=A^{-1}b)
• m>n，约束的个数大于未知数的个数，称为超定问题(overdetermined）
• m<n，负定/欠定问题（underdetermined）

通常我们遇到的都是超定问题，此时Ax=b的解是不存在的，从而转向解最小二乘问题：

[J(x)=min |A x-b|_{2}^{2} ]

J(x)为凸函数，我们令一阶导数为0，得到：(A^{T} A x-A^{T} b=0),称之为正规方程一般解：

[x=left(A^{T} A ight)^{-1} A^{T} b ]

2.2 奇异值分解与线性最小二乘问题

因为矩阵的逆很难求解，因此用SVD分解A矩阵

参考链接

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

打赏

创作不易，如果对您有帮助，就打赏一下吧O(∩_∩)O