有一个 (n imes m) 的矩阵 (a(1le a_{i,j}le p))，求从起点 ((1,1)) 出发依次遍历值为 (1 o p) 的矩阵单元的最短路径曼哈顿距离。保证满足 (a_{i,j}=p) 的 ((i,j)) 唯一。
数据范围：(1le n,mle 300)，(1le ple ncdot m)。
先记录 ( t vector) 数组 (w)，(w_t) 表示 (a_{i,j}=t) 的位置集合。
(w_t) 的每个元素有三个属性：(x,y,g)。(x) 和 (y) 是位置坐标，(g) 是出发遍历矩阵值 (1 o t) 后到 ((x,y)) 的最短路径长度。
暴力做法：从 (w_{i-1}) 的所有 (g) 值递推 (w_i) 的所有 (g) 值：
时间复杂度 (Thetaleft(sum_{iin[2,p]}|w_{i-1}|cdot |w_i| ight)leTheta(n^2m^2))。
- 怎么卡到 (Theta(n^2m^2)) 的？
比如 (n=300,m=300,p=2)，矩阵一半是 (1) 一半是 (2)。
这题的优化是真的巧，反正我比赛时没想到。
考虑以下情况：
总的时间复杂度是：
同时满足 (sum_{i=1}^p |w_i|=ncdot m)，根据柯西不等式：
所以 (sum_{i=2}^p|w_{i-1}|cdot |w_i|le ncdot m imessqrt{ncdot m})。
复杂为 (Theta(ncdot msqrt{ncdot m})) 可以通过。
但是如果 (exists iin[2,p]:|w_{i-1}|cdot|w_i|>ncdot m) 怎么办呢？
可以套个 (Theta(V)) 的多源无向无权图最短路模板 ( t Bfs)。
所以此时单次递推的时间复杂度也是 (Theta(ncdot m))。
这样的单次递推与 (|w_{i-1}|cdot|w_i|=ncdot m) 相比：
-
一次递推时间复杂度相等。
-
由于对于这个 (i) 的 (|w_{i-1}|cdot|w_i|) 大，所以对于其他 (i) 的 (|w_{i-1}|cdot|w_i|) 较小。所以总时间复杂度小。
所以这样优化后总时间复杂度 (le Theta(ncdot msqrt{ncdot m}))。可以通过。
- 代码：
//Data
const int N=3e2;
int n,m,k,a[N+7][N+7];
struct node{
int x,y,g;
node(int X=0,int Y=0,int G=0){x=X,y=Y,g=G;}
};
vector<node> w[N*N+7];
//Bfs
int d[N+7][N+7];
int tx[]={0,0,-1,1},ty[]={-1,1,0,0};
int ok(int x,int y){return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;}
void Bfs(vector<node>&s){ //多源无向无权图最短路模板 Bfs。
vector<node> q;
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) d[i][j]=inf;
int sc=-1;
q.pb(s[++sc]);
for(int i=0;i<sz(q);i++){
node v=q[i];
while(sc+1<sz(s)&&s[sc+1].g<=v.g) q.pb(s[++sc]);
for(int t=0;t<4;t++){
node u=node(v.x+tx[t],v.y+ty[t]);
if(ok(u.x,u.y)&&v.g+1<d[u.x][u.y]) d[u.x][u.y]=u.g=v.g+1,q.pb(u);
}
}
}
//Main
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
if(a[i][j]==1) w[a[i][j]].pb(node(i,j,i+j-2));
else w[a[i][j]].pb(node(i,j,inf));
}
for(int key=2;key<=k;key++){
if(sz(w[key-1])*sz(w[key])<=n*m){
for(node&u:w[key]) for(node v:w[key-1])
u.g=min(u.g,v.g+abs(u.x-v.x)+abs(u.y-v.y));
} else {
vector<node> s;
for(node v:w[key-1]) s.pb(v);
Bfs(s);
for(node&u:w[key]) u.g=d[u.x][u.y];
}
}
printf("%d
",w[k][0].g);
return 0;
}
祝大家学习愉快！