[数字信号处理]入门基本概念

入门基本概念

信号表示方法

连续时间信号形如以下式子

[f(t)=sin(Omega t) ]

离散时间信号形如以下式子

[x(n)=sin(omega n) ]

其中连续时间信号的自变量是(t),是一个连续的时间值.

离散时间信号的自变量是(n),是一个整数,一个序号.

在习惯上,把连续时间信号的频率记做大写的(Omega),把离散时间信号的频率记做小写的(omega)

用集合符号表示

用集合表示形如以下式子

[x(n)={underline1,2,3....}\ 或者\ x(n)=[underline1,2,3....] ]

用大括号或者中括号,里面写函数的输出值.

括号里的值的顺序是按照(n)排放的.

其中(n=0)的取值要加上下划线.

用公式表示

形如以下式子

[x(n)=sin(omega n)；n = (-infty,infty)\ x(n)=a^n；n=(-infty,infty) ]

用图形表示

用一个二维坐标图画出图形

一些常用序列

单位脉冲序列

仅仅在(n=0)时,样值取(1),其他位置都取(0),符号为(delta(n)).

用集合表示为(delta(x)={...0,underline 1,0...})

对若干个(delta(n))进行移位和加权(也就是加减乘除),然后再求和.可以表示任何序列

单位阶越序列

当(nin[0,infty))时,样值取(1),其余位置都为(0),符号为(u(n))

用集合表示为(u(n)={...0,underline1,1...})

矩形序列

当(n in[0, N))时,样值取(1),其余位置都为(0),符号为(R_N(n))

用集合表示为(R_N={0,underline 1,1,1})

注意这里写多少个(1)取决于(N)的大小.第一个(1)是(n=0)的样值,最后一个(1)是(n=N-1)的样值.

实指数序列

实指数序列的公式是(a^nu(n)).其实就是一个指数函数乘一个阶越函数.

函数(n<0)的部分都是(0),右边则为指数函数的值

复指数序列

复指数序列的公式是

[e^{(sigma+jomega_0)n}\ =e^{sigma n}e^{jomega_0n} ]

其中(e^{sigma n})是一个实指数序列,(e^{jomega_0 n})是一个虚指数序列,其中虚指数有以下性质

[e^{jomega_0 n}=cos(omega_0 n) + jcdot sin(omega_0 n) ]

正弦序列

正弦序列公式是

[sin(omega_0 n) ]

这个序列的(frac{2pi}{omega_0})不一定是序列的周期,因为(n)只能取整数,实际画出来的图像不一定能在预想的归零位置取到值,所以实际周期不一定是这个.

周期序列

一个周期为(N)的序列满足以下公式

[x(n)=x(n+N) ]

确定一个序列的周期

要判断一个序列有没有周期,周期是多少,步骤如下

计算(frac{2pi}{omega_0})
由(frac{2pi}{omega_0})计算周期(N)
如果(frac{2pi}{omega_0})是一个整数,那么他就是周期
如果(frac{2pi}{omega_0})是一个有理数,他化成最简表示为(frac{P}{Q}),那么分子(P)就是周期
如果(frac{2pi}{omega_0})是一个无理数,那么他没有周期

如果一个序列是多个序列的和,形如(x(n)=sin(an)+sin(bn)),我们可以分别求出各个序列的周期,他能求和得到的序列的周期就是各个序列的周期的最小公倍数.

序列的运算符

加和乘

把两个序列的(n=0)点对其,然后在逐个样值进行加和乘即可.

例如:

[x_1(n)={underline 2,4,8,16}\ x_2(n)={underline 1,2,3,4}\ 那么x_1(n)+x_2(n)={underline 3,6,11,20}\ x_1(n)cdot x_2(n)={underline 2,8,24,64}\ ]

移位

和函数类似,左加右减

[x(n)={underline 1,2,3,4}\ x(n-1)={underline0,1,2,3,4}\ x(n+1)={1,underline2,3,4} ]

翻转

就是把序列倒过来

[x(n)={underline 1,2,3,4}\ x(-n)={4,3,2,underline 1} ]

尺度变换(抽样)

给(n)乘上一个数字,相当于是序列(x(n))每隔(m)个点取一个值.

[x(n)={underline1,2,3,4}\ x(2n)={underline1,3} ]