LeetCode之“动态规划”：Scramble String

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　　题目要求：

　　Given a string s1, we may represent it as a binary tree by partitioning it to two non-empty substrings recursively.

　　Below is one possible representation of s1 = "great":

    great
   /    
  gr    eat
 /     /  
g   r  e   at
           / 
          a   t

　　To scramble the string, we may choose any non-leaf node and swap its two children.

　　For example, if we choose the node "gr" and swap its two children, it produces a scrambled string "rgeat".

    rgeat
   /    
  rg    eat
 /     /  
r   g  e   at
           / 
          a   t

　　We say that "rgeat" is a scrambled string of "great".

　　Similarly, if we continue to swap the children of nodes "eat" and "at", it produces a scrambled string "rgtae".

    rgtae
   /    
  rg    tae
 /     /  
r   g  ta  e
       / 
      t   a

　　We say that "rgtae" is a scrambled string of "great".

　　Given two strings s1 and s2 of the same length, determine if s2 is a scrambled string of s1.

　　该题解析参考自一博文和另一博文：

　　这其实是一道三维动态规划的题目，我们提出维护量res[i][j][n]，其中i是s1的起始字符，j是s2的起始字符，而n是当前的字符串长度，res[i][j][len]表示的是以i和j分别为s1和s2起点的长度为len的字符串是不是互为scramble，而答案应该就是res[0][0][s1.size()]。
　　有了维护量我们接下来看看递推式，也就是怎么根据历史信息来得到res[i][j][len]。判断这个是不是满足，其实我们首先是把当前s1[i...i+len-1]字符串劈一刀分成两部分，然后分两种情况：第一种是左边和s2[j...j+len-1]左边部分是不是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]右边部分是不是scramble；第二种情况是左边和s2[j...j+len-1]右边部分是不是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]左边部分是不是scramble。如果以上两种情况有一种成立，说明s1[i...i+len-1]和s2[j...j+len-1]是scramble的。而对于判断这些左右部分是不是scramble我们是有历史信息的，因为长度小于n的所有情况我们都在前面求解过了（也就是长度是最外层循环）。
上面说的是劈一刀的情况，对于s1[i...i+len-1]我们有len-1种劈法，在这些劈法中只要有一种成立，那么两个串就是scramble的。
　　总结起来递推式是res[i][j][len] = || (res[i][j][k]&&res[i+k][j+k][len-k] || res[i][j+len-k][k]&&res[i+k][j][len-k]) 对于所有1<=k<len，也就是对于所有len-1种劈法的结果求或运算。因为信息都是计算过的，对于每种劈法只需要常量操作即可完成，因此求解递推式是需要O(len)（因为len-1种劈法）。

　　程序如下：

class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        int szS1 = s1.size();
        int szS2 = s2.size();
        if(szS1 != szS2)
            return false;
        if(szS1 == 0 && szS2 == 0)
            return true;
        
        vector<vector<vector<bool> > > dp(szS1, vector<vector<bool> >(szS2, vector<bool>(szS1 + 1, false)));
        for(int i = 0; i < szS1; i++)
            for(int j = 0; j < szS2; j++)
                dp[i][j][1] = s1[i] == s2[j];
        
        for(int len = 1; len < szS1 + 1; len++)
            for(int i = 0; i < szS1 - len + 1; i++)
                for(int j = 0; j < szS2 - len + 1; j++)
                    for(int k = 1; k < len; k++)
                        if(dp[i][j][k] && dp[i+k][j+k][len-k] || dp[i][j+len-k][k] && dp[i+k][j][len-k]) // 前前后后，前后后前
                        {
                            dp[i][j][len] = true;
                            break;
                        }
        
        return dp[0][0][szS1];
    }
};