1. 向量
1.1 向量与点
向量和点到底有什么区别？
从计算的角度来说，没有。因为计算机里对一个三维点和三维向量都存的是三个浮点数。从数学概念的角度来说，当然有。所谓向量代表的是位移。为什么教科书上说，一个向量可以随便移动？因为它代表的是位移嘛，表示的是一个相对的东西。而所谓的点呢？它代表的是坐标系里的一个绝对位置，不能随便改变的。
向量代表方向（往哪里走），点代表位置（呆在哪里）。
1.2 坐标系
（只讨论笛卡尔坐标系）
多坐标空间是实时渲染里的数学基础。为什么要用多个坐标空间？因为相对位置在很多情况下要方便。
多坐标系让人迷惑的第一点就是：世界坐标系只有一个。这里世界坐标系的含义是，原点在零点的那个坐标系。或许称它为尺度更合适。也就是说，无论你要定义什么坐标系，你的原点和轴都得有数字表示吧，而你选这些数字都是相对我而言的。
明确了世界坐标系后，就可以开始讨论其它坐标系了。首先，定义一个坐标系的要素是：原点和坐标轴。坐标轴一般都是相互正交的。
这里的原点是一个点，而坐标轴是向量（更具体地说，单位向量）。有了原点和坐标轴，其他任意的点和向量都可以用它们来表示出来。所以就有了书里常见的几种写法，它们都是等价的（符号游戏）。
一定一个三维坐标系，它包括一个原点和三个坐标轴：
[o = (o_x, o_y, o_z) \
vec{i} = (i_x, i_y, i_z) \
vec{j} = (j_x, j_y, j_z) \
vec{k} = (k_x, k_y, k_z)
]
坐标系里的向量表示：
[vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \
= v_x vec{i} + v_y vec{j} + v_z vec{k} + o \
=
v_xleft(egin{matrix}i_x\i_y\i_zend{matrix}
ight) +
v_yleft(egin{matrix}j_x\j_y\j_zend{matrix}
ight) +
v_zleft(egin{matrix}k_x\k_y\k_zend{matrix}
ight) +
left(egin{matrix}o_x\o_y\o_zend{matrix}
ight) \
=
v_xleft(egin{matrix}i_x,i_y,i_zend{matrix}
ight) +
v_yleft(egin{matrix}j_x,j_y,j_zend{matrix}
ight) +
v_zleft(egin{matrix}k_x,k_y,k_zend{matrix}
ight) +
left(egin{matrix}o_x,o_y,o_zend{matrix}
ight)
]
1.3 坐标系转换
那么多坐标系之间如何转换呢？如果转换不了，或者不方便，那多坐标系有什么好的呢？所以坐标系转换当然是直观而且便于运算的。拿二维坐标系举例。如下图，定义了两个坐标系：Frame W（世界坐标系）和 Frame A。
[ extbf{Frame W} \
o = (0,0) quad vec{i} = (1, 0) quad vec{j} = (0, 1) \
extbf{Frame A} \
o_A = (2,3) quad vec{i_A} = (-1, 0) quad vec{j_A} = (0, -1)
]
Frame W 中的有个点 v = (-3,-1)，求：在 Frame A 中 v = ?
首先来看这个点的等价写法：
[vec{v} = v_x vec{i} + v_y vec{j} + o \
= v_x(i_x,i_y) + v_y(j_x,j_y) + (o_x,o_y)
\ Leftrightarrow
(-3,-1) = -3(1,0) + -1(0,1) + (0,0)
]
现在来引入齐次坐标。齐次坐标简单来说就是多用一个维度，比如用四维向量来表示三维向量。实际的三维向量通过将四维向量的前三维都除以第四维得到。
[vec{v} = (v_x, v_y, v_z, v_w) Leftrightarrow (frac{v_x}{v_w}, frac{v_y}{v_w}, frac{v_z}{v_w})
]
对于点，w=1；对于向量，w=0。用零点或零向量则依情况而定。齐次坐标等价写法：
[(v_x,v_y,1) = v_x (i_x,i_y,0) + v_y (j_x,j_y,0) + (o_x,o_y,1)
\ Leftrightarrow
(-3,-1,1) = -3(1,0,0) + -1(0,1,0) + (0,0,1)
]
接着来引入矩阵。向量是特殊的矩阵，向量是“一个维度”的，而矩阵是“两个维度的”。同样，在计算机眼里它们都是一堆数字，给它们赋予含义的是数学。引入矩阵如何使得计算变得更直观？回到点的等价表示上：
[(v_x,v_y,1) = v_x (i_x,i_y,0) + v_y (j_x,j_y,0) + (o_x,o_y,1)
]
如果把等式右边的行向量从上到下叠起来，再把系数往左移到一起，最后把圆括号换成方括号，就会变成（矩阵出现了！）：
[left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight]
left[egin{matrix}i_x & i_y & 0 \ j_x & j_y & 0 \ o_x & o_y & 1end{matrix}
ight]
= left[egin{matrix} (vec{i},0) \ (vec{j},0) \ ({f{o}},1)end{matrix}
ight]
]
在 Frame A 里，应该有着相似的形式：
[left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_Ax & v_Ay & 1end{matrix}
ight]
left[egin{matrix}i_Ax & i_Ay & 0 \ j_Ax & j_Ay & 0 \ o_Ax & o_Ay & 1end{matrix}
ight]
= left[egin{matrix} (vec{i_A},0) \ (vec{j_A},0) \ ({f{o_A}},1)end{matrix}
ight]
\ Leftrightarrow
left[egin{matrix}-3 & -1 & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}5 & 4 & 1end{matrix}
ight]
left[egin{matrix}-1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 2 & 3 & 1end{matrix}
ight]
\ Leftrightarrow
left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_Ax & v_Ay & 1end{matrix}
ight] M_A
]
运用一下矩阵的运算法则：
[left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight] M^{-1}_A = left[egin{matrix}v_Ax & v_Ay & 1end{matrix}
ight] M_A M^{-1}_A \
Longleftrightarrow
left[egin{matrix}v_Ax & v_Ay & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_x & v_y & 1end{matrix}
ight] M^{-1}_A
]
举个例子，在 这篇博客 里，构建 M_view 的时候，我们是要把 V_world 的点转换到 V_view 里去。按照上面这个式子，有：
[left[egin{matrix}v_{x_{world}} & v_{y_{world}} & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_{x_{view}} & v_{y_{view}} & 1end{matrix}
ight]
left[egin{matrix} vec{u} & 0 \ vec{v} & 0 \ f{Q} & 1end{matrix}
ight]
\ Leftrightarrow
{v_{world}}= {v_{view}} {M_{view}}^{-1}
\ Leftrightarrow
left[egin{matrix}v_{x_{view}} & v_{y_{view}} & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}v_{x_{world}} & v_{y_{world}} & 1end{matrix}
ight]
left[egin{matrix} vec{u} & vec{v} & 0\ - {f{Q}}vec{u} & - {f{Q}} vec{v} & 1end{matrix}
ight]
\ Leftrightarrow
{v_{view}}= {v_{world}} M_{view}
]
所以为什么要求坐标轴要正交？因为正交的话，逆矩阵就等于转置矩阵，算转置可比求逆容易多了。
1.4 变换
当前语境下的变换，就是点位置的改变。大致有两条路来得到，描述点位置变化的矩阵：
- 点从一个坐标系转换到另一个坐标系：需要知道目标坐标系的参数（视图变换适用，如上节的例子所示）
- 进行多少缩放操作？平移多少？旋转多少？（所有变换都适用，在 这篇博客 里介绍了用组合操作的方法如何推导出 M_view）
对第 2 条路，最常见的变换操作是缩放和旋转，属于线性变换。因为它们只能做到：
[x' = ax + by \ y' = cx + dy \
Leftrightarrow
left[egin{matrix}x' & y'end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}x & yend{matrix}
ight] left[egin{matrix}a & b \ c & dend{matrix}
ight]
]
而平移变换，属于仿射变换，因为它可以做到：
[x' = ax + by + e \ y' = cx + dy + f \
Leftrightarrow
left[egin{matrix}x' & y' & 1end{matrix}
ight] = left[egin{matrix}x & y & 1end{matrix}
ight] left[egin{matrix}a & b & 0\ c & d & 0 \ e & f & 1end{matrix}
ight]
]
这样引入齐次坐标的理由就显而易见了：一个矩阵就能装下最常用的三个变换。