正整数互素的概率问题
2018 年 10 月 14
最近，马明辉和我考虑了一些正整数互素的概率问题。
Euler 乘积公式, 对 $Re(s)>1$ 有
egin{equation*}
zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = prod_{p} left( 1- frac{1}{p^s}
ight)^{-1},
end{equation*}
其中 $zeta(s)$ 为 Riemann zeta 函数.
任意两个正整数互素的概率是
egin{equation*}
prod_{p} left(1-frac{1}{p^2}
ight) = frac{1}{zeta(2)} = frac{6}{pi^2},
end{equation*}
任意 $k$ ($kgeqslant 2$) 个正整数互素的概率是
egin{equation*}
prod_{p} left(1-frac{1}{p^k}
ight) = frac{1}{zeta(k)},
end{equation*}
任意 $k$ 个正整数两两互素的概率是
egin{equation*}
prod_{p} left( left(1-frac{1}{p}
ight)^{k} + inom{k}{1} frac{1}{p} left(1-frac{1}{p}
ight)^{k-1}
ight) = prod_{p} left( 1- frac{1}{p}
ight)^{k-1} left(1+frac{k-1}{p}
ight).
end{equation*}
设 $(a,b)=1$ 且 $a,b in mathbb{N}_{+}$, 算术数列 ${ an+b }_{ngeqslant 0}$ 中任意 $k$ 个数互素的概率为
egin{equation*}
prod_{p
mid a} left(1- frac{1}{p^k}
ight).
end{equation*}
当然我们也考虑了算术数列中任意 $k$ 个数两两互素的概率，并做了推广。