傅里叶（Fourier）级数是三角级数（每项都是三角函数）的一种。因为项数无限，且其中任意两个不同函数项之积在$[-pi,pi]$上的积分为0，所以可以作为希尔伯特空间的一个正交系。傅里叶级数可以拟合很多周期函数。
三角函数系的正交性
三角函数系
$1,cos x,sin x,cos 2x, sin 2x,...,cos nx, sin nx,...$
在区间$[-pi,pi]$上正交，即：
$egin{align*} &int_{-pi}^{pi}cos nxdx = 0 ;(n=1,2,3,...)\ &int_{-pi}^{pi}sin nxdx = 0 ;(n=1,2,3,...)\&int_{-pi}^{pi}sin kxcos nx dx = 0 ; (k,n=1,2,3,...)\&int_{-pi}^{pi}cos kxcos nx dx = 0 ;(k,n=1,2,3,...,k e n)\&int_{-pi}^{pi}sin kxsin nx dx = 0 ;(k,n=1,2,3,...,k e n) end{align*}$
证明第3项：
$displaystyle int_{pi}^{pi}sin kx cos nx dx= int_{pi}^{pi}frac{1}{2}[sin (k-n)x + sin(k+n)x]dx$
因为
$displaystyle int_{pi}^{pi}sin ax dx$
$a=0$时积分为$0$，$a e 0$时：
$displaystyle int_{pi}^{pi}sin ax dx=left.-frac{1}{a}cos ax ight|_{-pi}^{pi}=0$
因此第三项为$0$，得证。
函数展开为傅里叶级数
设$f(x)$是周期为$2pi$，且可积分的周期函数，函数可展开为：
$displaystyle f(x) = frac{a_0}{2}+sumlimits_{k=1}^{infty}(a_kcos kx+b_ksin kx dx)$
先求$a_0$，对等式两边积分：
$displaystyle int_{-pi}^{pi}f(x)dx = int_{-pi}^{pi}frac{a_0}{2}+sumlimits_{k=1}^{infty}(a_kcos kx+b_ksin kx dx)dx$
由正交性可得：
$displaystyle a_0 = frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)dx$
再求$a_n$，等式两端乘$cos nx$，再积分：
$displaystyle int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxdx = frac{a_0}{2}int_{-pi}^{pi}cos nxdx+sumlimits_{k=1}^{infty}left[a_kint_{-pi}^{pi} cos kxcos nxdx+b_kint_{-pi}^{pi} sin kxcos nxdx ight]$
由正交性得：
$displaystyle int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxdx =a_nint_{-pi}^{pi} cos^2 nxdx=a_npi$
于是：
$displaystyle a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxdx ;(n=1,2,3,...)$
类似地，两端乘$sin nx$，再积分得：
$displaystyle b_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxdx;(n=1,2,3,...)$
级数收敛
$a_n,b_n$是通过积分算出来的，当然能满足添加了积分运算的上述级数的等式。但是如果没有积分运算，等式一定能成立吗？或者说级数一定会收敛到原函数吗？$f(x)$要满足所谓“收敛定理”，级数才能收敛：
设$f(x)$是周期为$2pi$的周期的函数，如果它满足：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点。
则$f(x)$的傅立叶级数收敛，并且当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；当x是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$。