更新：10 JAN 2017
泛函极值问题
变分法
泛函 = 函数的函数：
[I[y] = int_{x_0}^{x_1} F(y, y', ..., x)dx
]
设(y=f(x))是一个函数，(x)是自变量，(y)是因变量。对泛函求变分，自变量的变分恒为零(delta x = 0)，因变量的变分为任意(delta y)。
[delta I[y] = int_{x_0}^{x_1} left(frac{partial F}{partial y}delta y + frac{partial F}{partial y'}delta y'+...
ight)dx
]
通常的物理问题中变分和微分可以交换，则上式中(delta y' = frac{d}{dx}delta y)，换成(delta y)的形式。通过乘法求导法则将(delta y)提出。这里假设(x_0)、(x_1)是固定点，否则也需要求变分。
泛函取极值的必要条件是(delta I[y] = 0)。确定极大值、极小值需要求二阶变分。
若存在约束条件，将约束条件变分后以拉格朗日乘子带入方程，按照对因变量的变分合并同类项。
最终可以求出使泛函取极值的函数(y=f(x))。对于有约束条件的需要把乘子(lambda)带入到约束方程中求出来。
哈密顿原理
理想完整有势系统, 在所有符合给定界边条件(t_0, q_k(t_0))和(t_1, q_k(t_1) (k = 1,2,...,f)), 且符合约束的轨道中，实际轨道作⽤量取极值。其中作⽤量定义为
[S[q] = int_{t_0}^{t_1} L(q,dot q,t)dt
]
此即哈密顿作用量
莫培督-拉格朗日原理
能量相同的不同轨道通过空间所需的时间不同，因此作用量变分时，端点时间不能固定，这是莫培督原理与哈密顿原理的区别。
[S = sum_{k=1}^{f}int_{q_{k_0}}^{q_{k_1}}p_kdq_k
]
此即莫培督作用量。
瑞利-里兹方法，近似解运动方程
思想：使用幂级数逼近精确解，
[x(t) = sum_{k=1}^{n}a_kt^k
]
现需要确定系数(a_k)，一是满足边界条件/约束方程，二是使作用量取极值。
使作用量取极值，等价于用系数表示的作用量（求出积分，最终只包含独立的(a_k)系数）对各个独立系数的偏导数分别为零。