数学必修三第二章统计

一：随机抽样

　　从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的杨被，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这样抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

　　6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球：

　　第一次抽取，6个中抽取1个，每个球的被抽取的可能性是1/6 并且是相等的

　　第二次抽取，5个中抽取1个，每个球被抽取的可能性都是1/5；

　　第三次抽取，4个中抽取1个，每个球被抽取的可能性都是1/4；

　　常哟昂的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表示法

　　1.抽签法

　　100个灯管寿命不放回的抽取10个灯管的寿命构成简单的随机样本

　　方法：给100个灯管寿命编号，每一只灯管寿命对应1-100中的唯一一个数，再把这100个号码分别写道纸上，然后抽取 10个号码，和这10个号码对应的日光灯管寿命就构成了一个简单随机样本。

　　抽签法比较简单但是当总体的容量非常大时，并不适用，同时总体要搅拌均匀。

　　2.随机数表法

　　随机数表是由0，1，2，3，4...9这10个数字组成的鼠标，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同。程序可生成随机数表，由5个数组成一组，然后通过随机数表来抽取样本。

　　案例：850颗种子的发芽率从中抽取50颗种子进行实验使用随机数表来抽取

　　步骤：

　　1.编号从001 002 ...850

　　2.给出的随机数是5位数一组，使用各个5位数组的前3位，从各组数中任选一个前3为小于或等于850的数作为起始号码。例如从第一行第7组数字开始，取530作为抽取的50颗种子中的第1个的代号。接着继续向右读取如果遇到大于850的数字则跳过，取到50个数字即可。

　　　　　　　　　　　　随机数表例子

　　数字随机数生成： c++ dev c++编译器 linux系统以下程序可以生成上面的图片

#include <iostream>

#include <cstdlib>
#include <ctime>

#define random(a,b) (rand()%(b-a)+a) 　　　//宏定义用于扩展

using namespace std;

int main()
{
　　srand((unsigned ) time(NULL));　　　　 //随机数种子
　　for(int i=0;i<85;i++)　　　　　　　　　　//共850个数字
　　{
　　　　for(int j=0;j<10;j++)
　　　　　　{
　　　　　　　　cout<<random(10000,99999)<<" "; 　　//random 产生 10000到99999之间的随机数
　　　　　　}
　　　　cout<<" ";　　　　　　　　　　　 //10个数一行之后换行
　　}
　　return 0;
}

　　c++没有自带的random函数，要实现随机数的生成就需要使用rand和srand

　　1.rand() 仅仅返回一个0至RAND_MAX之间的随机数，而RAND_MAX的值与int位数有关，最小是32767.不过rand()是一次性的，因为系统默认的随机数种子为1，只要随机数种子不变，其生成的水技术序列就不会改变。

　　2.srand() 可以用来设置rand()产生随机数时的随机数种子。通过设置不同的种子以获得不同的随机数序列。

　　产生不同随机数种子的方法：srand( unsigned int ) ( time(NULL)) 利用系统的时钟来产生不同的随机数种子

　调用time() 需要加入头文件 <ctime>

#include<iostream>

#include<cstdlib>
#include<ctime>
　using namespace std;
int main()
{
　　srand((unsigned)time(NULL));　　//生成种子
　　for(int i=0;i<10;i++)
　　　　cout<<rand()<<' '; 　　　　 //产生随机数
　　return 0;
}

通式

产生一定范围随机数的通用表示公式是：

取得(0,x)的随机整数：rand()%x；
取得(a,b)的随机整数：rand()%(b-a)；
取得[a,b)的随机整数：rand()%(b-a)+a；
取得[a,b]的随机整数：rand()%(b-a+1)+a；
取得(a,b]的随机整数：rand()%(b-a)+a+1；
取得0-1之间的浮点数：rand()/double(RAND_MAX)。

练习A

　　全班同学爱听数学课的比例计划抽取8名同学做调查，请你用抽签法抽取一个样本。

　　假设共50名学生从1-50编号贴纸条或小球，然后每次从总体中抽取一个，直到取第8个时停止，在抽取的过程中，每个小球被抽取的可能性都是1/当时的总数，之后再查看这8名学生爱听数学课成为样本。

练习B1

　　某居民区有730户居民，居民会计划从中抽取25户调查其家庭收入状况，利用简单随机样本来统计。

　　730户居民编号000-730；

　　随机生成730个数字，每个数字由5个个位数组合而成。取后3位数为整数，大于730的数需要跳过，共取25个。

练习B2

　　制作1000个一位数的随机数表，并检查0-9这10个数在表中出现的可能性是否相同？

　　代码：

// 生成1000个0-3的数字组成的随机数表

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a) //宏定义

　　using namespace std;

int main()
{
　　srand((unsigned ) time(NULL));
　　　int cn0=0;
　　　int cn1=0;
　　　int cn2=0;
　　 int cn3=0;
　　 int number=0;
　　for(int i=0;i<100;i++)
　　{
　　　　for(int j=0;j<10;j++)
　　　　{
　　　　　　number=random(0,3);
　　　　　　if(number==0)
　　　　　　{
　　　　　　　　cn0++; //0的数字个数
　　　　　　}
　　　　　　else if(number==1)
　　　　　　{
　　　　　　　　cn1++; //1的数字个数
　　　　　　}
　　　　　　else if(number==2)
　　　　　　{
　　　　　　　　cn2++; //2的数字个数
　　　　　　}
　　　　　　else if(number==3)
　　　　　　{
　　　　　　　　cn3++; //3的数字个数
　　　　　　}
　　　　　　　　cout<<number<<" ";
　　　　}　　
　　　　　　cout<<" ";
　　}
　　　　cout<<"0的个数为："<<cn0<<";;;1的个数为："<<cn1<<";;2的个数为："<<cn2<<";;3的个数为："<<cn3<<endl;
　　　　cout<<"总数为："<<cn0+cn1+cn2+cn3<<endl;
　　　　return 0;
}

　 0-3 之间选择随机数事实是相同的

二.系统抽样　　

　　当总体数量非常大的时候，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先指定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

　　案例1：高一学生期末考试数学成绩统计，从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本。对全体学生的数学成绩进行编号。号码从1-15000。

样本容量为150，总体容量为15000 这样两个的比例为150：15000=1：100。

　　将总体平均分成150个部分，其中每个部分包含100个号码；在1-100中抽取一个号码假设为56，则第二个数为156，以后的一次递增100 即256、356...

　　直到取得150个号码为止：序列为：56，156，256，356，456，....

　　得到150个号码学生的成绩为样本

　　从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设定k=N/n，先从数字1到k中随机地抽取一个数s作为起始数，然后顺次抽取第s+k，s+2k，...，s+(n-1)k个数，这样就得到容量为n的样本。如果总体容量不能被样本容量整除。可随机地从总体中剔除余数，然后再按照系统抽样方法进行抽样。

　　进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便得多，因而应用的范围很广。由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称为等距抽样。

练习A：1563个产品中抽取15件产品做检测给出系统抽样方案

　　1.1-1563编号 1563/15=104.2 四舍五入取104

　　2.1-104中取1个数字假设为87 之后取87+1*104=191 再之后是87+2*104=295 再之后是87+3*104 等等一直取15个数

　　3.此15个数字组成样本空间

练习B：

　　总数为365天

　　编号从1-365

　　365/52=7.01 约等于7

　　所以1-7中任选一个数字假设为5 则第2个数为5+7=12 第3个数为5+14=19 第4个数为5+3*7=26 一直取满52个数。

　　这52个数字组成样本空间。

　　案例代码：

//系统抽样生成52个随机数

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)

using namespace std;

int main()
{
srand((unsigned)time(NULL)); //生成种子
int number=365;
int parts=52;
int n=number/parts;
int c=0;
int a=random(1,7);

for(int i=0;i<52;i++)
{
cout<<a+c*n<<endl;
c++;
}
// cout<<n<<" ";

return 0;
}

分层抽样

　　当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常常采取分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。

　　案例：某高中900名学生考察体重，抽取45名学生的体重组成的样本，因为各个年级的学生随着年龄的增长体重不同，所以分三层来抽取

　　高一学生共400名;高二学生300名;高三学生200名;

　　样本容量与总体容量的比为45：900=1：20

　　所以45=900*1/20=（400+300+200）*1/20=400*1/20+300*1/20+200*1/20=20+15+10=45

　　所以高一，高二，高三3个层面上取的学生数分别为：20 15 10

　　然后再分别对各层进行简单随机抽样；分层的优点是具有较强的代表性而且在各层抽样时可以灵活地选用不同的抽样法

练习1：

　　500名学生喜欢数学的学生占30%，不喜欢数学的占40%，介于两者之间的学生占30%，为了考查学生的其中考试的数学成绩，如何用分层抽样来抽取一个容量为50个样本。

　　成绩高的（喜欢数学） 500*30%=150

　　成绩中等的　　　　　 500*30%=150

　　成绩低的　　　　　　 500*40%=200

　　样本为50：总体500=1：10

　　所以分层抽取的数量为：150/10=15；150/10=15；200/10=20

　　分别为成绩高的成绩中等的成绩低的总数为50

　　然后再分别对各层进行简单随机抽样　

练习2：某公司500人，其中不到35的125人，35-49的280人 50岁以上的95人为了调查员工的身体健康状况样本为100名分层抽取的方法

　　100/500=1/5

　　35岁的抽取　　　　125/5=25人　　再简单随机抽取

　　35-49岁的抽取　　　280/5=56人　　

　　50岁以上　　　　　 95/5=19人　　

练习3：饮食习惯 1500为总数，抽取200名进行调查

　　南方人500名北方人800名西部地区200名

　　方法：

　　200/1500=2/15

　　南方人抽样为500*2/15=66.6=67人

　　北方人抽样为800*2/15=106人

　　西部地区的人抽样为200*2/15=26.6=27人

　　合计共200人

练习B：

　　12000 分别来自四个城区其中东城区2400人，西城区4605人，南城区3795人，北城区1200人

　　从中抽取60人

　　方法如下：

　　1.计算比例

　　　　60/12000=1/200

　　2.分别计算

　　　　2400/200=12

　　　　4605/200=23

　　　　3795/200=19

　　　　1200/200=6

　　合计12+23+19+6=60

　　3.然后分别对四个城区进行简单的随机抽样统计

上题中的程序代码：

1.simplesample.h 头文件

class randsample
{
public:
randsample();
randsample(int _s,int _n);
void sample();
void print();
private:
int num;//样本容量
int sum;//总量
int samples[];
};

2.simplesample_class_implement.cpp

//simplesample类的实现

//implement simple_sample

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include "simplesample.h" //用户自定义的文件

#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a) //宏定义

using namespace std;

randsample::randsample()
{

cout<<"default"<<" ";
sum=0;
num=0;
samples[0]={0};
}

randsample::randsample(int _s,int _n)//形参为总量和样本数量
{
sum=_s;
num=_n;

}
void randsample::print()
{
int count=0;
cout<<"样品容量为："<<num<<" ";
cout<<"总量为："<<sum<<" ";
sample();
cout<<"抽取的样品编号分别为： ";
for(int i=0;i<num;i++)
{
count++;
cout<<"第"<<i+1<<"个:"<<samples[i]<<" ";
if(count%5==0)
cout<<" ";
}
}
void randsample::sample()
{
for(int i=0;i<num;i++)
samples[i]=random(0,sum);
}
int main()
{
srand((unsigned)time(NULL));//产生随机数种子，如果不设置则rand()值始终为1 则每次生成的随机数都是相同的
randsample dongcheng(2400,12);
dongcheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample xicheng(4605,23);
xicheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample nancheng(3795,19);
nancheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample beicheng(1200,6);
beicheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
return 0;
}

2.1.4 数据的收藏

　　在实际统计时要确定调查的目的、对象即统计调查要解决的问题和需要调查的总体；

　　要确定好调查的项目，也就是要统计的变量，接下来就可以开始收集数据了

　　1.试验

　　能够直接获得样本数据例如投骰子

　　2.查阅资料　　

　　查阅理念文献统计年鉴等例如全国历次人口普查的数据

　　3.设计调查问卷

　　由一组有目的，有系统，有顺序的题目组成。

　　问题要具体，有针对性

　　避免一般性或者不具体的问题

　　语言简单、准确、含义清楚避免出现有歧义或意思含混的句子

　　不能出现引导受调查者答题倾向的语句

汇总练习题

　　习题2-1_A

　　1.某地10000名高一学生的体重抽取200名雪深更调查

　　　　总体：10000名学生的体重情况

　　　　个体：每名学生的体重

　　　　样本：是10000名中抽取的200名学生的体重情况

　　　　总体容量：10000

　　　　样本容量：200

　　2.编号为1-100的100道题中随机抽取20道题组成考卷

　　　　总体：100

　　　　编号1-100

　　　　样本为20

　　　　不放回地每次抽取1个标签纸条组成样本　直到抽出20个纸条

　　3.590件货物从中选出50件货物用随机数表示法给出抽样方案

　　　　数字00100-99999 为范围

　　　　#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)

　　　　random(100,99999)

　　　　取得出的随机数取每组数字的高三位大于590的跳过

　　　　int num[50]={0};

　　　　int count=0;

　　　　for(int i=0;i<50;i++)

　　　　{

　　　　　　num[i]=random(0,999);

　　　　　　cout<<num[i];

　　　　　　count++;

　　　　　　if(count%7==0)

　　　　　　cout<<" ";

　　　　}

　　4.　10000人编号0-9999 从这些游客当中随机选出10名幸运游客用系统抽样的方式给出游客的编号等距离抽取

　　　　　k=10000/10=1000;

　　　　　int n=random(0,1000);

　　　　　int m[10]={0};

　　　　　m[0]=n;

　　　　 cout<<"第1次抽取的样本为："<<m[0]<<" ";

　　　　　for(int i=1;i<10;i++)

　　　　　{

　　　　　　m[i]=n+i*k;

　　　　　　cout<<"第"<<i+1<<"次抽取的样本为："<<m[i]<<" ";

　　　　　}

代码示例：

//习题4 统计与抽样
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
using namespace std;
int main()
{
srand((unsigned)time(NULL));
cout<<"请输入总体容量:"<<endl;
int n1;
cin>>n1;
cout<<"请输入样本容量:"<<endl;
int n2;
cin>>n2;
int k=n1/n2;
int n=random(0,k);//calculate
int m[n2]={0};//initial set
m[0]=n;
cout<<"the first sample："<<m[0]<<" ";
for(int i=1;i<n2;i++)
{
m[i]=n+i*k;
cout<<i+1<<"th sample："<<m[i]<<" ";//输出所有的样品值
}
return 0;
}

//simplesample 声明
/* 仅声明
*/

class randsample
{
public:
randsample();
randsample(int _s,int _n);
void sample();
void print();
private:
int num;//样本容量
int sum;//总量
int samples[];
};

class dividefun
{
public:
dividefun();//constructor default
dividefun(int _num,int _sum_samplenum); //初始化分层总体数组
void calculate();//计算分层样本的容量并存入对应数组中
private:
int sample_num[]; //用来存储各个分层的样本容量的数组
int sum_num[]; //用来存储各个分层的总体容量的数组
int dividenum;//层数
int sum_samplenum;
};

//simplesample类的实现未完成

//implement simple_sample

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include "simplesample.h" //用户自定义的文件

#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a) //宏定义

using namespace std;

randsample::randsample()
{
cout<<"default"<<" ";
sum=0;
num=0;
samples[0]={0};
}
randsample::randsample(int _s,int _n)//形参为总量和样本数量
{
sum=_s;
num=_n;
}
void randsample::print()
{
int count=0;
cout<<"样品容量为："<<num<<" ";
cout<<"总量为："<<sum<<" ";
sample();
cout<<"抽取的样品编号分别为： ";
for(int i=0;i<num;i++)
{
count++;
cout<<"第"<<i+1<<"个:"<<samples[i]<<" ";
if(count%5==0)
cout<<" ";
}
}
void randsample::sample()
{
for(int i=0;i<num;i++)
samples[i]=random(0,sum);
}

//class dividefun implement

dividefun::dividefun(){
cout<<"default"<<endl;
sum_num[0]={0};
sample_num[0]={0};
dividenum=0;
}
dividefun::dividefun(int _num,int _sum_samplenum){
//int num=0;
sum_samplenum=_sum_samplenum;
dividenum=_num;
cout<<"请输入"<<dividenum<<"个数字:"<<endl;
for(int i=0;i<_num;i++)
{
cin>>sum_num[i];//初始化分层总量数组
}
}

void dividefun::calculate()//计算
{
int sum;
int k;
if(dividenum==0)
exit(1);
else
{
//计算总体抽样的比例
for(int i=0;i<dividenum;i++)
sum+=sum_num[i];
k=sum_samplenum/sum; //计算比例
for(int i=0;i<dividenum;i++)
{
sample_num[i]=sum_num[i]*k;//初始化分层样本数组
}
}
}

int main()
{
srand((unsigned)time(NULL));//产生随机数种子，如果不设置则rand()值始终为1 则每次生成的随机数都是相同的
randsample dongcheng(2400,12);
dongcheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample xicheng(4605,23);
xicheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample nancheng(3795,19);
nancheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
randsample beicheng(1200,6);
beicheng.print();
cout<<" ";
cout<<" ";
return 0;
}

2.2用样本估计总体

　　随机抽样的方法在总体中抽取样本得到一组数据可以用样本的频率分布估计总体的分布，可以用样本的数字特征（如平均数、标准差）估计总体的数字特征。

2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布

　　将大量的数据样本，形成频数分布或者频率分布可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布的情况。

　　制作频率分布表、频率分布直方图

　　1.计算极差

　　极差是最大值与最小值的差反映了一组数据变化的幅度又叫全距

　将样本数据存入数组，设定temp临时值

　　求出数组中的最大值==》max

　　求出数组中的最小值==》min

　　极差=max-min

　　2.决定组数与组距

　　样本数据有100个，可以分成8-12组这里取11组假设极差为0.32

　　所以组距=极差/组数=0.32/11=0.03

　　3.决定分点

　　将第一组的起点定位25.235 组距为0.03 这样所分的11组分别是

　　1. 25.235～（25.235+0.03=25.265）

　 2.　　25.265～25.295

　　...

　　11.　　25.535-25.565

　　极差=最大-最小=25.565-25.235=0.33（约）

　　4.列频率分布表

　　对落在各个小组内数据的个数进行累计，这个累计数叫做各个小组的频数，各个小组的频数除以样本容量，得各小组的频率。

　　求各小组频数的算法

　　第一步：设B（j）为落在第j个小组内的数据个数，且B(j)=0(j=1,2,...,11); B为分组的数组

　　第二步：逐一判断A(i)(i=1,2,...,100)落入哪一个小组，若落入第j个小组，则B(j)=B(j)+1　　A数组为样本数据

　　频率分布图如下：

　　第三步绘制频率分布直方图

　　　　在直角坐标系中，用横轴表示产品内径尺寸，纵轴表示频率与组距的比值，得到频率分布直方图。

　　　　在图中可以看出：

　　　　　　小长方形面积=组距*频率/组距=频率

　　　　　　各个小长方形的面积等于相应各组的频率，所有长方形面积之和等于1

　　　　优等品所占比例，可以统计出内径尺寸在区间25.325～25.475内的个体数在样本容量中所占的比例，也就是它的频率。

　　　　0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84

　　　　可以估算优等品比例为84%

　　　　频率分布折线图将上图中的各个长方形的上边的重点用线段连接起来就得到频率分布折线图

　　　　样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条y=f(x)来描绘

　　　　这条光滑的曲线就叫做总体密度曲线。

　　　　总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律，产品尺寸落在（a,b）内的百分率就是图中带斜线部分的面积。

　　　　常用的统计图表还有茎叶图

　　　　案例：某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：

　　　　甲得分：12，15，24，25，......

　　　　乙得分：8，13，14，16，23...

　　　　中间的主干（茎）表示得分的十位上的数字外面的表示各位上的数字

　　　　例如346就代表 13 14 16 三个得分

　　　　左边的为甲的得分右边的为乙的得分

　　　　优点是没有原始信息的丢失

练习A

　　1.一批灯泡中抽取50只寿命测试

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

　　通常往往不需要了解总体的分布形态，而是更加关心总体的某一数字特征。

　例如灯泡的寿命，了解一批灯泡的平均使用寿命。

　　把这批灯泡寿命看做总体，从中随机取出若干个个体作为样本，算出样本的数字特征，用样本的数字特征（如平均数）来估计总体的数字特征

　　1.用样本的平均数估计总体平均数

　　2.用样本标准差估计总体标准差

　　　　数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。

　　　　样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小样本方差的算术平方根。

　　　　极差为最大值减最小值

　　　　方差的平方根为样本的标准差

　　　　例5 甲乙射击比赛

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

float bzc(int * group,int n,float &average);

int main()
{
    int A[]={7,8,6,8,6,5,9,10,7,4};
    int B[]={9,5,7,8,7,6,8,6,7,7};
    int sum=0;
    float Baverage,Aaverage;
    float Abzc,Bbzc;
    Abzc=bzc(A,10,Aaverage);
    Bbzc=bzc(B,10,Baverage);
    cout<<Aaverage<<":::::"<<Baverage<<endl;
    cout<<Bbzc<<"::::::"<<Abzc<<endl;
    return 0;
}
float bzc(int * group,int n,float &average)
{
    int C[n];
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sum+=group[i];
    }
    average=sum/n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        C[i]=group[i]-average;
        C[i]*=C[i];
    }
    sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sum+=C[i];
    }
    float bzc=sqrt(sum/n);
    return bzc;
}