51Nod 1677 treecnt 【树形dp+组合数学+逆元】

51Nod 1677 treecnt

Description:
给定一棵n个节点的树，从1到n标号。选择k个点，你需要选择一些边使得这k个点通过选择的边联通，目标是使得选择的边数最少。

现需要计算对于所有选择k个点的情况最小选择边数的总和为多少。

样例解释：

一共有三种可能:(下列配图蓝色点表示选择的点，红色边表示最优方案中的边)

选择点{1,2}:至少要选择第一条边使得1和2联通。

选择点{1,3}:至少要选择第二条边使得1和3联通。

选择点{2,3}:两条边都要选择才能使2和3联通。

Input

第一行两个数n，k(1<=k<=n<=100000)
接下来n-1行，每行两个数x,y描述一条边(1<=x,y<=n)

Output

一个数，答案对1,000,000,007取模。

Input示例

3 2
1 2
1 3

Output示例

4


题解：

一道非常6的好题，思维性很强！！！值得一做！！！
首先直接做，要选出 k 个点，然后还要选择一些边使他们构成联通块，复杂度很高。
我们换个角度考虑（思维含量贼高）：我们考虑一条边对答案的贡献：
设一条边连着 x,y 两侧的节点，那么每次选 k 个点，我们有三种取法：

（以上图片转载）


1：x 一侧的k个点的联通块
2：y 一侧的k个点的联通块
3：既包含 x 又包含 y 的k个点的联通块

显然，只有第三种情况这条边对答案有贡献，所以这条边对答案的贡献即为： C（n，k）-C（x，k）-C（y，k）；
这样一来就简单了：我们通过 dfs dp出每个点的子节点数，这样一来就直接带进公式求值就可以了。
（还要注意：这里的组合数要用到阶乘逆元，否则精度会爆）

上代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define mo 1000000007
 4 using namespace std;
 5 const ll N=100005;
 6 const ll M=1e5+5;
 7 vector <ll> mp[100005];
 8 ll ans,n,k;
 9 ll vis[100500];
10 ll step[100005];  //阶乘数组 
11 ll unstep[100005];  // 阶乘逆元数组 
12 
13 //快速幂部分 
14 ll qpow(ll x,ll n)
15 {
16     ll res=1;
17     for (; n; n>>=1)
18     {
19         if (n&1) res=res*x%mo;
20         x=x*x%mo;
21     }
22     return res;
23 }
24 
25 //阶乘逆元部分 
26 void init()
27 {
28     step[1]=1;
29     for (int i=2; i<=M; i++)
30       step[i]=step[i-1]*i%mo;
31     unstep[M]=qpow(step[M],mo-2); //根据费马小定理，一个数x模p意义下的逆元就是x^(p-2) 
32     for (int i=M-1; i>=0; i--)
33       unstep[i]=unstep[i+1]*(i+1)%mo;
34 }
35 
36 //组合数学部分 
37 ll C(ll a,ll b)
38 {
39     if (b>a) return 0;
40     if (b==0) return 1;
41     return step[a]*unstep[b]%mo*unstep[a-b]%mo;
42     // 由公式 C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!) 转换过来：除变成乘逆元 
43 }
44 
45 //dfs部分 
46 ll dfs(int x)
47 {
48     vis[x]=1;
49     ll count=1;
50     for (ll int i=0; i<mp[x].size(); i++)
51     {
52         ll u=mp[x][i];
53         if (vis[u]==0)
54         {
55             ll tmp=dfs(u);
56             ans=(ans+(C(n,k)%mo-C(tmp,k)%mo-C(n-tmp,k)%mo)%mo+mo)%mo;
57             count+=tmp;    
58         }
59     }
60     return count;
61 }
62 
63 
64 int main()
65 {
66     while (~scanf("%I64d%I64d",&n,&k))
67     {
68         init();
69         memset(vis,0,sizeof(vis));
70         for (ll i=1; i<=n; i++) mp[i].clear();
71         for (ll i=1; i<=n-1; i++)
72         {
73             ll x,y;
74             scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
75             mp[x].push_back(y); mp[y].push_back(x);
76         }
77         ans=0;
78         dfs(1);
79         printf("%I64d
",(ans+mo)%mo);
80     }
81     return 0;
82 }

View Code


加油加油加油！！！ fighting fighting fighting !!!