(from M.J. Shu) 已知二次型 $$ex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$ex f(x,y,z)=4 eex$$ 表示什么曲面?
解答: 由 $f$ 的矩阵 $$ex A=sex{a{ccc} 1&b&1\ b&3&1\ 1&1&1 ea} rasex{a{ccc} 1&b&1\ b-1&3-b&0\ 0&1-b&0 ea} eex$$ 的秩为 $2$ 知 $b=1$. 此时, $$ex A=sex{a{ccc} 1&1&1\ 1&3&1\ 1&1&1 ea}. eex$$ 由 $$ex |lm E-A|=lm (lm-1))(lm-4) eex$$ 知 $f$ 可经过正交线性变换化为 $$ex f(x_1,x_2,x_3)=y_2^2+4y_3^2. eex$$ 故 $$ex 4=f(x_1,x_2,x_3)=y_2^2+4y_3^2 eex$$ 为椭圆柱面.