POJ 3761 Bubble Sort

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-3761

转自：https://blog.csdn.net/cscj2010/article/details/7820906

题目大意

 　　含 n 个不同元素的排列恰好经过 k 趟冒泡排序变得有序。问原数组有多少种排列情况？

分析

　　第一眼看上去觉得是个 DP，最后发现是个数学题，认栽。。。

　　

　　首先，定义 f(x) 表示在数组中位于元素 x 左面且大于 x 的个数。那么有$0 leq f(x) leq n - x$。

　　定义 g(x) 为经过不超过 x 趟排序的排列数。于是答案就为 g(k) - g(k - 1)。

　　由题意得$k = f(x)_{max}$，因为冒泡每次直冒一个数，因此每轮只有一个数会冒到 x 后面，对其他数也是一样，也就是每一趟排序$对forall_{1 leq x leq n, f(x) > 0} f(x) = f(x) - 1$。

　　接下来推 g(k)。

　　由于$k geq n - x$，所以$x geq n - k$。

　　所以当$x geq n - k$时，放哪里都可以；而当$x < n - k$时，某些地方是不能放的。

　　先放后 k 个数，一种有 k! 种排列。

　　对于前 n - k 个数，从小到大排列，然后与后 k 个数的排列合并：$[1, 2, 3, dots, n - k, a_1, a_2, dots, a_k]$。

　　从 1 开始，1 可以不动，也可以与数组中比它大的前 k 个数中的某一个对调，有 k + 1 种。

　　2 在 1 的基础上同理，也有 k + 1 种。

　　于是前 n - k 个数总共有$(k + 1)^{n - k}$种。

　　那这样做会不会有重复呢？不可能，因为是从小到大遍历的，所以 x 一旦调出去，就不可能再被调回来。

　　因此$g(k) = (k + 1)^{n - k} * k!$。

　　所以$g(k) - g(k - 1) = k! * ((k + 1)^{n - k} - k^{n - k})$。

代码如下

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <stack>
#include <deque>
#include <list>
#include <sstream>
#include <cassert>
using namespace std;
 
#define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
#define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c 
#define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
#define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
 
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
 
template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
    in >> p.first >> p.second;
    return in;
}
 
template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
    for (auto &x: v)
        in >> x;
    return in;
}
 
template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
    out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
";
    return out;
}

inline int gc(){
    static const int BUF = 1e7;
    static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
    
    if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
    return *bg++;
} 

inline int ri(){
    int x = 0, f = 1, c = gc();
    for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
    for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
    return x*f;
}

template<class T>
inline string toString(T x) {
    ostringstream sout;
    sout << x;
    return sout.str();
}

inline int toInt(string s) {
    int v;
    istringstream sin(s);
    sin >> v;
    return v;
}

//min <= aim <= max
template<typename T>
inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
    return min <= aim && aim <= max;
}
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef pair< int, PII > PIPII;
typedef pair< string, int > PSI;
typedef pair< int, PSI > PIPSI;
typedef set< int > SI;
typedef set< PII > SPII;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< double > VD;
typedef vector< VI > VVI;
typedef vector< SI > VSI;
typedef vector< PII > VPII;
typedef map< int, int > MII;
typedef map< LL, int > MLLI;
typedef map< int, string > MIS;
typedef map< int, PII > MIPII;
typedef map< PII, int > MPIII;
typedef map< string, int > MSI;
typedef map< string, string > MSS;
typedef map< PII, string > MPIIS;
typedef map< PII, PII > MPIIPII;
typedef multimap< int, int > MMII;
typedef multimap< string, int > MMSI;
//typedef unordered_map< int, int > uMII;
typedef pair< LL, LL > PLL;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef priority_queue< int > PQIMax;
typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
const double EPS = 1e-8;
const LL inf = 0x3fffffff;
const LL infLL = 0x3fffffffffffffffLL;
const LL mod = 20100713;
const int maxN = 1e6 + 7;
const LL ONE = 1;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555;

LL T, N, K, ans;

LL mul_mod(LL a, LL b) {
    return (a * b) % mod;
}

LL sub_mod(LL a, LL b) {
    return (a - b + mod) % mod;
}

LL fac[maxN];
void init_fact() {
    fac[0] = 1;
    For(i, 1, maxN - 1) fac[i] = (i * fac[i - 1]) % mod;
}

inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p = mod){
    LL ret = 1;
    while(y){
        if(y & 1) ret = (ret * x) % p;
        x = (x * x) % p;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
} 

int main(){
    //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //INIT();
    init_fact();
    scanf("%lld", &T);
    while(T--) {
        scanf("%lld%lld", &N, &K);
        ans = mul_mod(fac[K], sub_mod(pow_mod(K + 1, N - K), pow_mod(K, N - K)));
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}