Hardy-Littlewood 极大函数的可积性

谨以此文纪念讨论班上遇到的可爱妹纸。

在 Stein 的实分析上看到这个东西，据说是个很有用的发明。极大函数定义为对函数在某点附*取球*均，再对所有不同的球取上确界。其实细分有两种，一种是所有含该点的球，另一种是只考虑以该点为圆心的球。即

${M^*}f = \mathop {\sup }\limits_{x \in B} \frac{1}{{mB}}\int\limits_B {\left| f \right|}$

$Mf = \mathop {\sup }\limits_{r > 0} \frac{1}{{m{B_r}\left( x \right)}}\int\limits_{{B_r}\left( x \right)} {\left| f \right|}$

两种定义区别没那么大，很容易说明 $Mf \le {M^*}f \le {2^n}Mf$ 左边由于取上确界的“定义域”有包含关系，是显然的；右边假设 M* 找的那个球半径是 r ，那么让 M 找个 2r 半径的球就能吞下了。

断言1) 对非零的可积函数 f ，|x| 充分大时，有 Mf >= c/|x|^n 从而 Mf 不可积。

分析：不妨设 |f| 全空间积分为1，找个足够大的球让其积分超过 1/2 没问题，取*均时把这整个球吞下，分母球体积那部分增大造成的衰减就是 1/|x|^n 阶的。

断言2) 函数 f 支撑在单位球B内，f 在 B 上可积，Mf 在 B 上可积，则对任意的 a>0 Mf 在 {Mf>a} 上可积。

分析：两边的衰减至少也是 1/dist(x,B)^n 阶的趋于零，所以 {Mf>a} 是个有界区域。在 {1<|x|<1+d} 上的积分可以与 {1-d<|x|<1} 上的积分作比较，对这两个区域沿着半径作一个相对球面对称的正则映射，对应点处的极大函数值可以逐点地比较（B内对称点的极大函数值不小于B外那一点，选同样大的球取*均，内环里的点就能完全把交集的部分包进去）。其实是在说，极大函数在最坏的地方可积，那么如果不考虑断言1中全空间上衰减的问题，极大函数在相当的范围内都可积。

断言3)

$\alpha m\left\{ {Mf > \alpha } \right\} \leqslant {3^n} \cdot 2\int_{\left\{ {\left| f \right| > \frac{\alpha }{2}} \right\}} {\left| f \right|}$

分析：这是对建立在 Vitali 覆盖引理上的 weak-type 不等式的一点小改进，把全空间的积分分为 {|f|>a/2} 和 {|f|<=a/2} 的部分，然后对后者进行缩放。以出现一个2倍的代价（作为一个绝对常数，在分析中几乎就是没有代价），换取的是全空间的积分变为函数值有正的下确界区域上的积分，相当合算的买卖。

断言4)

$\alpha m\left\{ {Mf > \alpha } \right\} \geqslant \frac{1}{{{2^n}}}\int_{\left\{ {\left| f \right| > \alpha } \right\}} {\left| f \right|}$

分析：这个反方向的不等式建立在 Calderón–Zygmund 覆盖引理之上。我们把全空间分成网格状（mesh），当网眼（Cube）很大时，函数在每个网格里的均值不大于a；然后一次次细分网格，如果某次细分均值从小等于a变成了大于a，那么由细分体积关系就可以得到一个双边的估计，有点像之前对 M 和 M* 做的那样。应用该引理对 a>0 找到相应的 Cubes，正向的不等式可以连接网格均值和极大函数；反向的不等式则正好帮助我们估计这样的网格的测度。即

$m\left\{ {Mf > \alpha } \right\} \geqslant \sum {m{\text{Cubes}}} \geqslant \frac{1}{{{2^n}\alpha }}\int_{{\text{Cubes}}} {\left| f \right|} \geqslant \frac{1}{{{2^n}\alpha }}\int_{\left\{ {\left| f \right| > \alpha } \right\}} {\left| f \right|}$

准备工作全部就绪，我们有下面这个非常漂亮的定理，说明了极大函数的局部可积性与原函数局部可积性之间的关系。

定理：函数 f 支撑在单位球B内，f 在 B 上可积，则 Mf 在 B 上可积，等价于 |f|log|f| 在 B 上可积。

证明：通过交换积分次序（以及 f 支撑在 B 上的事实），有

$\int\limits_B {\left| f \right|\log \left| f \right|{\text{d}}x} = \int\limits_B {\left| f \right|} \int\limits_1^{\left| f \right|} {\frac{{{\text{d}}\alpha }}{\alpha }} {\text{d}}x = \int\limits_1^\infty {\frac{1}{\alpha }} \int_{\left\{ {\left| f \right| > \alpha } \right\}} {\left| f \right|{\text{d}}x} {\text{d}}\alpha$

用上断言4

$\leqslant {2^n}\int\limits_1^\infty {m\left\{ {Mf > \alpha } \right\}{\text{d}}\alpha }$

因为若 Mf 在 B 上可积，则在 {Mf>1} 上可积（断言2），充分性得证。

反之若 |f|log|f| 在 B 上可积，有

$\int\limits_B {Mf} = 2\int\limits_0^\infty {m\left\{ {Mf > 2\alpha } \right\}{\text{d}}\alpha } \leqslant 2mB + 2\int\limits_1^\infty {m\left\{ {Mf > 2\alpha } \right\}{\text{d}}\alpha }$

用上断言3

$\le 2mB + {3^n}\int\limits_1^\infty {\frac{1}{\alpha }} \int_{\left\{ {\left| f \right| > \alpha } \right\}} {\left| f \right|} {\rm{d}}x{\rm{d}}\alpha$

然后像第一个式子那样把积分次序调换回来即可。