傅里叶------傅里叶级数

傅里叶------傅里叶级数

• • 形式
  • 条件
  • 周期
  • 正交
  • 系数
  • 偏置
  • 复指

形式

周期函数的无穷级数表示(sin,cos)。
一个周期为$2l$的周期函数$f(x)$
$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi x}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi x}{l})$
有了这样的形式，只要确定$a_0,a_n,b_n$就可以确定其表示。
先给出$a_0,a_n,b_n$的表示：
$a_0=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx$ (n>0)
$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx$ (n>0)

条件

狄里赫利条件

1. 在任何周期内,f(x)需绝对可积;
2. 在任一有限区间中,f(x)只能取有限个最大值或最小值;
3. 在任何有限区间上,f(x)只能有有限个第一类间断点。

满足条件的函数才能进行傅里叶级数展开。

周期

简化一下，我们讨论$cosn\pi x$的周期表示，这里的n>0，最小的就是$cos\pi x$，其周期为2，很简单可以求出其余的$cosn\pi x$的周期为：$1,\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{1}{3}.......$但是他们有一个共有的大周期为2。同理关于$sin\pi x$我们也能得到相同的结论。进一步我们把之前的$f(x)$周期设为2，即$l$为1。那么所有的sin，cos的周期与$f(x)$都能相应的对应。也就是说上文中的$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn\pi x+b_{n}sinn\pi x)$累加形式，其实是若干个与$f(x)$同周期的cos(偶函数)，sin(奇函数)的组合表示(这里的$l$为1)。同样将$l$取其他值也可以得到相同的结论。

正交

正交在线代中也有正交向量等概念，它往往与空间中的垂直或者…与0有关。
还是从简单的来，我们来看看一些积分：
${\int }_{-\pi }^{\pi }sinxsin2xdx$，${\int }_{-\pi }^{\pi }sin2xcos2xdx$，${\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xsin3xdx$，${\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xcos3xdx$…积化和差转化一下有：
${\int }_{-\pi }^{\pi }sinxsin2xdx={\int }_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{2}[cos(2x+x)-cos(2x-x)]dx=0$
${\int }_{-\pi }^{\pi }sin2xcos2xdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}[sin(2x+2x)+sin(2x-2x)]dx=0$
${\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xsin3xdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}[sin(2x+3x)-sin(2x-3x)]dx=0$
${\int }_{-\pi }^{\pi }cos2xcos3xdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}[cos(2x+3x)+cos(2x-3x)]dx=0$
于是我们可以有这样的结论：对于不同的n与m(都是大于零的整数)
${\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxsinmxdx=0$，${\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcosmxdx=0$，${\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxsinmxdx=0$特殊的${\int }_{-\pi }^{\pi }cosmxsinmxdx=0$，不同周期的sin，cos间在其公共周期($[-\pi ,\pi ]$)上积分为0，相同周期的sin与cos的积分也为0。于是我们浅显的得到一个关于0的结论。

系数

通过上面的正交，我们可以得到相应的系数$a_n,b_n$。
先简化一下，假设$a_0$为0的$f(x)$，并且其周期为$2\pi$，于是
$f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
对于$a_n$相应的只要乘以对应的$cosnx$并在$[-\pi ,\pi ]$上积分有：
${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)cosnxdx$
$={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}cosnx\ast cosnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_n}{2}[cos(nx+nx)+cos(0)]dx$
$=a_n\pi$
于是有$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx$ (n>0)
同样的对于$b_n$有：
${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)sinnxdx$
$={\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_{n}sinnx\ast sinnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }-\frac{b_n}{2}[cos(nx+nx)-cos(0)]dx$
$=b_n\pi$
于是有$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx$ (n>0)
对于不同周期只要将对应的$2\pi$进行缩放就可以了。最终有($2l$为周期)：
$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx$ (n>0)
$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx$ (n>0)

偏置

在求解系数的时候我们仅仅考虑了sin，cos的组合情况，对于$f(x)$也可能存在竖直方向的平移偏置，这就是$a_0$的作用了，先证明一下对于上面推导在$a_0$不为0时的正确性。很简单的有：
$a_0{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxdx=a_0{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxdx=0$(n是大于0的整数)
所以不影响系数$a_n,b_n$的求解。将${\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxdx=0$提出来，之后对$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$两边同时积分得：
${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_{0}dx=2\pi a_0$
于是有$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$。
对于不同周期进行缩放。最终有($2l$为周期)：
$a_0=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$

复指

核心是利用欧拉公式：$e^{ix}=cosx+isinx$来代替级数中的三角函数。将原先的级数变为复指数形式，于是对于sinx与cosx有如下的表示：（取i与-i联立）
$cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ ,$sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
还是以简单的2$\pi$为周期，原先级数$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$就转化为
$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i})$
$=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inx}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-inx})$
进一步有$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx$ (n>0)，其中$b_{-n}=-b_n$
上面公式的形式有：$f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inx})+{\sum }_{n=-\infty }^{-1}(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inx})$
进一步化简，定义$c_n$有$c_0=a_0$，$c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}$，n取整数。
最终得到傅里叶级数的复指数形式有：$f(x)={\sum }_{n=-\infty }^{n=\infty }(c_n{e}^{inx})$，对于不同的周期$2l$有：$f(x)={\sum }_{n=-\infty }^{n=\infty }(c_n{e}^{\frac{in\pi x}{l}})$