整数拆分

题目描述：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入：

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出：

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

样例输入：
7
样例输出：
6

当N为奇数时，f(N) = f(N-1); 当N为偶数时，N的拆分可分为包含1和不包含1的情况，前者与N-1的情况相同，即与N-2的情况相同，后者最小拆分到2，将各项除以2可知与N/2的情况相同。

 
  1. #include <stdio.h>  
  2.    
  3. int data[1000002];  
  4.    
  5. int main(void){  
  6.     int input, i;  
  7.    
  8.     data[0] = data[1] = 1;  
  9.     for (i=1; i<=500000; ++i){  
  10.         data[2*i] = (data[2*i-2] + data[i]) % 1000000000;  
  11.         data[2*i+1] = data[2*i];  
  12.     }  
  13.    
  14.     while (scanf ("%d", &input) != EOF){  
  15.         printf ("%d ", data[input]);  
  16.     }  
  17.    
  18.     return 0;  
  19. }  


运行情况：

对上述方法进一步简化，因为奇数项等于偶数项，所以只需要一半的数组即可，但需要对输入N预先除以2，得到 f(n) = f(n-1) + f(n/2).

    1. #include <stdio.h>  
    2. int data[500001];  
    3. int main(void){  
    4. int input, i;  
    5.     data[0] = data[1] = 1;  
    6. for (i=1; i<=500000; ++i){  
    7.         data[i] = (data[i-1] + data[i/2]) % 1000000000;  
    8.     }  
    9. while (scanf ("%d", &input) != EOF){  
    10.         printf ("%d ", data[input/2]);  
    11.     }  
    12. return 0;  
    13. } 

    整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

    所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

    例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

    注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

    根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

    （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

    （2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

    （3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

        （b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

        因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    （4）当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；< span="">

    （5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

        （b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

        因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

    

    

（二）方法二——母函数

    下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

    所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

    有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

    则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

    我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

    显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

    因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

    例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

    则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

    G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

            = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

            = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

    上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

    由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

    为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

    g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

    则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

（三）代码实现

  1. #include <stdio.h>
  2. #include <stdlib.h>
  3. #include <string.h>
  4. #define DEBUG 
  5. //递归法求解整数划分
  6. unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
  7. {
  8.     if(n == 1 || max == 1)
  9.     {
  10.         return 1;
  11.     }
  12.     if(n < max)
  13.     {
  14.         return GetPartitionCount(n, n);
  15.     }
  16.     if(n == max)
  17.     {
  18.         return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
  19.     }
  20.     else
  21.     {
  22.         return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
  23.     }
  24. }
  25. //母函数法求整数划分
  26. #define MAXNUM 100            //最高次数
  27. unsigned long a[MAXNUM];
  28. unsigned long b[MAXNUM];
  29. unsigned long c[MAXNUM];    //保存结果
  30. //两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM
  31. void Poly()
  32. {
  33.     int i;
  34.     int j;
  35.     memset(c, 0, sizeof(c));
  36.     for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
  37.     {
  38.         for(j = 0; j < MAXNUM - i; j++)    //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界
  39.         {
  40.             c[i + j] += a[i] * b[j];
  41.         }
  42.     }
  43. }
  44. //计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果
  45. void Init(int m)
  46. {
  47.     int i;
  48.     int j;
  49.     memset(a, 0, sizeof(a));
  50.     memset(c, 0, sizeof(c));
  51.     //第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n
  52.     for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
  53.     {
  54.         a[i] = 1;
  55.     }
  56.     //for(j = 2; j <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)
  57.     //通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合
  58.     for(j = 2; j <= m; j++)
  59.     {
  60.         memset(b, 0, sizeof(b));
  61.         //第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...
  62.         for(i = 0; i <= MAXNUM; i += j)
  63.         {
  64.             b[i] = 1;
  65.         }
  66.         //多项式相乘:c = a * b
  67.         Poly();    
  68.         //将结果c保存到a中
  69.         memcpy(a, c, sizeof(c));
  70.     }
  71. }
  72. //母函数方法得出整数划分相应的划分数目
  73. //n:整数
  74. //m:划分方法
  75. void CalPrint(int n, int m)
  76. {
  77.     if(n < m)
  78.     {
  79.         Init(n);
  80.         //由于n小于m，此时按n == m打印
  81.         printf("由于n小于m，所有(%d,%d) = (%d,%d) = %ldn", n, m, n, n, c[n]);
  82.     }
  83.     else
  84.     {
  85.         Init(m);
  86.         printf("整数划分(%d,%d)方法数目f(%d,%d) = %ldn", n, m, n, m, c[n]);
  87.     }
  88. }
  89. int main(int argc, char **argv)
  90. {
  91.     int n;
  92.     int m;
  93.     unsigned long count;
  94.     printf("请输入要划分的整数:n");
  95.     scanf("%d", &n);
  96.     printf("请输入划分数:n");
  97.     scanf("%d", &m);
  98.     if(n <= 0) 
  99.     {
  100.         fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数.n");
  101.         return -1;
  102.     }
  103.     if(m <= 0)
  104.     {
  105.         fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数.n");
  106.         return -1;
  107.     }
  108.     count = GetPartitionCount(n, m);
  109.     printf("方法一：递归法n");
  110.     printf("整数划分（%d,%d)的方法数为：%dnn", n, m, count);
  111.     printf("方法二：母函数法n");
  112.     CalPrint(n,m);
  113.     #ifdef DEBUG
  114.     int i = 0;
  115.     for( i = 0; i < MAXNUM; i++)
  116.     {
  117.         printf("%9ld ", c[i]);
  118.         if((i + 1) % 10 == 0)
  119.         {
  120.             printf("n");
  121.         }
  122.     }
  123.     printf("n");
  124.     #endif
  125.     return 0;
  126. }

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