行列式
[D =
left| egin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} \
end{array}
ight|]
上图是一个三阶行列式，行列式是形如上图的一个东西，简记为： (det(a_{ij})), 其中(a_{ij})是行列式的第(ij)元。
一个n阶行列式的值为：
[sum (-1)^t a_{1 p_1} a_{2p_2} ... a_{np_n}
]
其中(t)是(1)～(n)的排列(p_1, p_2, p_3...,p_n)的逆序对个数。
特殊行列式
三角形行列式
满足如下等式：
[D =
left| egin{array}{c}
a_{11} &. &. & ... \
a_{21} & a_{22} &. & ... \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...\
. & . & . & .\
. & . & . & .\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
end{array}
ight| = a_{11}a_{22}...a_{nn}]
对角行列式
满足如下等式：
[D =
left| egin{array}{c}
lambda_1 & & & &\
& lambda_2 & & &\
& & . & & \
& & & . & \
& & & & lambda_n
end{array}
ight| = lambda_1 lambda_2 ... lambda_n]
相当于特殊的三角形行列式
性质
前置知识
转置行列式：
将行列式(D = det(a_{ij}))沿从左到右的对角线镜像翻转，得到一个新的行列式，称这个新的行列式为它的转置行列式。即原来的(a_{ij})会与(a_{ji})交换位置。
性质一
行列式与它的转置行列式相等
性质二
交换行列式的两行(列)，行列式变号
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零
性质三
行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一数(k)，等于用数(k)乘行列式
推论：行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式记号外面
性质四
行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质五
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第(i)行的元素都是两数之和：
[D =
left| egin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & ... & a_{in} + a'_{in}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
end{array}
ight|]
则(D)等于下列两个行列式之和:
[D =
left| egin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
end{array}
ight| +
left| egin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a'_{i1} & a'_{i2} & ... & a'_{in}\
. & . & & .\
. & . & & .\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
end{array}
ight|
]
性质六
把行列式的某一行(列)的各元素同乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。
高斯消元求解
由性质六和对角线行列式的计算方式可得，如果我们把行列式当做一个(n)元一次方程组，然后解出对角矩阵，再将对角线上的元素相乘，即可得到行列式的值。