1. 系统知识点
1.1. 系统的表示
- 箭头/方框表示 (f(t) o y(t))，(f(t) o oxed{H} o y(t))
- 算子表示 (y(t)=H[f(t)])
- 数学模型表示（差分方程或微分方程）
1.2. 系统的分类
1.2.1. 连续/离散时间系统
将连续时间输入信号变换为连续时间的输出信号的系统，称为连续时间系统；
将离散时间输入信号变换为离散时间的输出信号的系统，称为离散时间系统。
1.2.2. 线性/非线性系统
线性系统满足3个条件：
-
系统具有分解性
系统的全响应可以分解为只由初始状态引起的零输入响应(y_{_x}(t)/y_{_0}[n])和只由输入引起的零状态响应(y_{_f}(t)/y_{_x}[n])之和，记为：
[egin{aligned} y(t) &= y_{_x}(t) + y_{_f}(t)\ y[n] &= y_{_0}[n] + y_{_x}[n] end{aligned} ] -
系统具有零输入线性
[egin{aligned} ay_1(0) + by_2(0) & o ay_{x_1}(0) + by_{x_2}(0) \ ay_1[0] + by_2[0] & o ay_{_{0_1}}[0] + by_{_{0_2}}[0] \ end{aligned} ] -
系统具有零状态线性
[egin{aligned} ax_1(t) + bx_2(t) & o ay_{_{f_1}}(t) + by_{_{f_2}}(t) \ ax_1[n] + bx_2[n] & o ay_{_{x_1}}[n] + by_{_{x_2}}[n] \ end{aligned} ]
【例】
- 典型的不满足可分解性的例子就有：(y(t) = y(0)x(t))
一般的时候会遇到零输入响应为0的情况，此时只需判断的零状态响应线性即可（如 (y(t)=tf(t)) ）。
但是如果零输入响应为一个非零的常数（此时不满足线性），则此系统为增量线性系统（假设满足零状态响应线性），仍属于非线性系统。 - 根据定义很容易判断零输入/零状态是否线性，比如常见的 (y(t)=f^2(t)) 就是典型的非线性，另外像微分算子 (y(t)=frac{df(t)}{dx})，积分算子 (y(t)=int_{-infty}^{t} f( au) d au) 都是的线性算子。
1.2.3. 时变/时不变系统
系统的时不变性指的是：输入信号在时间上有一个平移，系统的零状态响应也会产生一个同样的时间上的平移，即：
如果 (f(t) o y_{_f}(t))，则 (f(t-t_0) o y_{_f}(t-t_0))或
如果 (x[n] o y_{_x}[n])，则 (x[n-n_0] o y_{_x}[n-n_0])；
【注意】 特别小心这种“时间反转、扩展压缩”的信号，如：
[egin{aligned}
& y(t) = x(at)，如
egin{cases}
y(t) = x(2t)\
y(t) = x(-t)
end{cases}
均为时移系统,\
& egin{cases}
y(t) = int_{-infty}^{2t} x( au) d au 为时移系统\
y(t) = int_{-infty}^{t} x( au) d au 为时不变系统\
end{cases}；
end{aligned}
]
还有一种就是“输入信号与时间函数”的乘积，如 (y(t)=tf(t), y(t)=sin(t)f(t)) 等均是时移系统。
1.2.4. 因果/非因果系统
因果系统的当前输出只与当前时刻或当前时刻之前的输入有关，而与未来的输入无关，又称为“物理可实现系统”。
非因果系统的输出与未来的时刻的输入有关。
【注意】 从定义上很容易判断出，注意几个特殊的：
-
“时间反转、扩展压缩”的信号
[y(t)=f(at) egin{Bmatrix} y(t) = f(2t),& y(1) = f(2)\ y(t) = f(frac{1}{2}t),& y(-1) = f(-frac{1}{2})\ y(t) = f(-t),& y(-1) = f(1)\ y(t) = f(-frac{1}{2}t),& y(-1)=f(frac{1}{2})\ y(t) = f(-2t),& y(-1)=f(2)\ end{Bmatrix} 非因果 ] -
微分、差分等运算
[egin{aligned} y(t) &= frac{df(t)}{dt} = lim_{Delta t o 0} frac{f(t + Delta t) - f(t)}{Delta t}, Delta t 可正可负，故为非因果系统；\ y[n] &= Delta x[n] = x[n+1] - x[n]，前向差分为非因果系统；\ y[n] &= riangledown x[n] = x[n] - x[n-1]，后向差分为因果系统；\ y(t) &= int_{-infty}^{2t} f( au) d au ，时间压缩了，也是非因果系统。 end{aligned} ]
1.2.5. 稳定/非稳定系统
对于任意一个有界输入，输出也有界的系统为稳定系统。
1.2.6. 记忆/无记忆系统
-
无记忆系统
系统的输出信号只取决于当前时刻的激励信号，而与过去的工作状态无关（如纯电阻电路）
-
有记忆系统
系统的输出信号不仅取决于当前时刻的激励信号，而与过去的输入有关（如含有电感，电容的电路）
1.3. 系统的互联
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串联
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并联
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