前言
函数的单调性是函数的非常重要的性质之一，其给出方式变化多样。
原始定义
从数的角度表达：函数(y=f(x))的定义域内的一个区间(A)上，如果对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)(<)(x_2)时，都有(f(x_1))(<)(f(x_2))，称函数在区间(A)上是增加的[单调递增的]，当(x_1)(<)(x_2)时，都有(f(x_1))(>)(f(x_2))，称函数在区间(A)上是减少的[单调递减的]，如果函数(y=f(x))在区间(A)上是增加的或是减少的，则称区间(A)为单调区间；
从形的角度刻画：递增函数的图像在区间(A)上是上升的，递减函数的图像在区间(A)上是下降的；
- 定义中涵盖的另一层意思： 如果对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)(>)(x_2)时，都有(f(x_1))(>)(f(x_2))，称函数在区间(A)上是增加的[单调递增的]，当(x_1)(>)(x_2)时，都有(f(x_1))(<)(f(x_2))，称函数在区间(A)上是减少的[单调递减的].由于数学概念要求精准、精炼、准确，故原始定义中没有这一层意思，需要学生通过读书要理解出来。
总结：当自变量不等式的方向和函数值不等式的方向相同时，称为单调递增；当自变量不等式的方向和函数值不等式的方向相反时，称为单调递减；
引申表达
既然如此，这两层意思可以借助积的符号法则，通过一个乘积形式来刻画，比如：
对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)( eq)(x_2)时，都有((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0)，称为函数(f(x))在(A)上单调递增，
对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)( eq)(x_2)时，都有((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0)，称为函数(f(x))在(A)上单调递减，
也可以借助商的符号法则，通过一个分式形式来刻画，比如：
对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)( eq)(x_2)时，都有(cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，称为函数(f(x))在(A)上单调递增，
对(forall) (x_1,)(x_2)(in)(A)，当(x_1)( eq)(x_2)时，都有(cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0)，称为函数(f(x))在(A)上单调递减，
另类表达
- 当我们熟悉了上述的给出方式以后，对于以下的另类给出也就容易理解了，不过其常常用“分式+奇偶”的综合形式给出：
如对任意的(m)，(nin D)，函数(f(x))在区间(D)上满足：(cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0)，且函数(f(x))为奇函数，
则可知(-f(-x_2)=f(x_2))，代换得到(cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0)，
再令(-x_2=x_3)，即(cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0)，
即函数(f(x))在区间(D)上单调递增；
(1).判断函数(f(x))的单调性；
解：设(x_1=m)，(-x_2=n)，则原式变形为(cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，
由于函数(f(x))是定义在区间([-1,1])上的奇函数，所以(f(-x)=-f(x))，
所以上式可以变形为 (cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，
不妨设(-1leqslant x_1<x_2leqslant1)，则(f(x_1)<f(x_2))，
由函数的单调性定义可知，函数(f(x))在区间([-1,1])上是增函数 .
(2).解不等式(f(x+cfrac{1}{2})<f(1-x)) .
解：由定义域和单调性两个角度加以控制得到，
(left{egin{array}{l}{-1leqslant x+cfrac{1}{2}leqslant 1}\{-1leqslant 1-xleqslant 1}\x+cfrac{1}{2}<1-xend{array} ight.)
解得，(0leqslant x<cfrac{1}{4})，即([0,cfrac{1}{4})) .