前言
自从高中数学中引入了导数之后,能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了,但是随之也带来了许多困惑,本博文希望和各位一起作以探讨。
必备知识
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导数的相关知识,导数与函数的单调性;
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恒成立命题和能成立命题;
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分离参数法;
相关链接
- 很容易让我们产生疑惑的地方,导数法求参数取值范围时需要注意问题
易混题型
Ⅰ、已知函数的单调性,求参数的取值范围;
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已知函数(f(x))在区间((a,b))上单调递增,则(f'(x)geqslant 0)恒成立且(f(x))不是常函数[勿忘验证];
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已知函数(f(x))在区间((a,b))上单调递减,则(f'(x)leqslant 0)恒成立且(f(x))不是常函数[勿忘验证];
Ⅱ、已知函数存在单调区间,求参数的取值范围;
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已知函数(f(x))在区间((a,b))上存在单调递增区间,则(f'(x)>0)能成立[注意:不能转化为(f'(x)geqslant 0)能成立];
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已知函数(f(x))在区间((a,b))上存在单调递减区间,则(f'(x)< 0)能成立[注意:不能转化为(f'(x)leqslant 0)能成立];
典例剖析
- 类型1:参数包含在函数的系数中
思路方法:若函数(y=f(x))在区间([a,b])单调递增,则(f'(x)ge 0)在区间([a,b])上恒成立,且导函数(f'(x))不恒为(0);若函数(y=f(x))在区间([a,b])单调递减,则(f'(x) leq 0)在区间([a,b])上恒成立,且导函数(f'(x))不恒为(0);
易错警示:漏掉等号,忘掉验证;
【解答】由函数(f(x))在在区间((-4,4))内单调递增,则(f'(x)ge 0)在区间((-4,4))内恒成立,
又(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax}),注意到(e^{ax}>0)恒成立,即有(ax+a^2+1ge 0)在区间((-4,4))内恒成立,
令(g(x)=ax+a^2+1)为一次型的函数,故只需要满足(left{egin{array}{l}{g(-4)ge 0}\{g(4)ge 0}end{array}
ight.),
即(left{egin{array}{l}{a^2-4a+1ge 0}\{a^2+4a+1ge 0}end{array} ight.),
解得,(left{egin{array}{l}{age 2+sqrt{3}或aleq 2-sqrt{3}}\{aleq -2-sqrt{3}或age -2+sqrt{3}}end{array}
ight.),
即(ain (-infty,-2-sqrt{3}]cup[-2+sqrt{3},2-sqrt{3}]cup[2+sqrt{3},+infty))。
[注意]:将(a)取到等号的值代入函数,明显函数不是常函数,故大多题目会直接省略这一点,实际是用头脑已经验证了,但是其他题目就不一样了,举例如下
【法1】:依托(y=cfrac{1}{x})的单调性,则(1-2m>0),解得(m<cfrac{1}{2});
【法2】:导数法,但是导数法很容易出错。
导数法:由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0,+infty))上单调递减,则有
(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0,+infty))上恒成立,
即(2m-1leq 0),即(mleq cfrac{1}{2}),这个结果是错误的,
原因是缺少验证,当(m=cfrac{1}{2})时, 函数(f(x)=0)为常函数,
不符合题意,故舍去,即(m<cfrac{1}{2})。
- 类型2:参数包含在给定区间端点处
思路方法:集合法,由于函数中不含有参数,故用常规方法能很快求出单调区间,那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间,转化为集合的关系求解;导数法,转化为导函数不等式恒成立问题求解。
分析:集合法,先用导数的方法求得函数(f(x))的单调递减区间,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),
令(f'(x)<0),解得(xin (-2,1)),即其单调递减区间为([-2,1]),此处必须写成闭区间,否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在([a,a+1])上单调递减,故([a,a+1]subseteq [-2,1]),即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足(left{egin{array}{l}{-2leqslant a}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.),解得(-2leqslant aleqslant 0),
故参数(a)的取值范围为([-2,0])。
导数法,由题设可知,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),由于函数在区间([a,a+1])上单调递减,
则(f'(x)=3(x+2)(x-1)leq 0)在区间([a,a+1])上恒成立,则(left{egin{array}{l}{f'(a)leqslant 0}\{f'(a+1)leqslant 0}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{3(a+2)(a-1)leqslant 0}\{3(a+3)aleqslant 0}end{array} ight.),解得(left{egin{array}{l}{-2leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 0}end{array} ight.),则(ain [-2,0])。
- 类型1:参数包含在函数的系数中
直接法:函数(y=f(x))在区间([a,b])上存在单调递增区间,则(f'(x)>0)在区间([a,b])上能成立(或有解);
函数(y=f(x))在区间([a,b])上存在单调递减区间,则(f'(x)<0)在区间([a,b])上能成立(或有解);易错警示:多添加了等号;
间接法:不存在单调递增区间,则函数为常函数或单调递减,则恒有(f'(x)=0)或(f'(x)leq 0)在区间([a,b])上恒成立;不存在单调递减区间,则函数为常函数或单调递增,则恒有(f'(x)=0)或(f'(x)ge 0)在区间([a,b])上恒成立;
交集法:若能容易求得给定函数的单调区间,则求得的该区间和已知的单调区间求交集,即可求得参数的取值范围。
【法1,直接法】:(g(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1+2x),则(g'(x)=x^2-ax+2),
由(g(x))在区间((-2,-1))内存在单调递减区间,得到,
(g'(x)=x^2-ax+2<0)在区间((-2,-1))上能成立,
分离参数得到,(a < x+cfrac{2}{x})在区间((-2,-1))上能成立,
而(left(x+cfrac{2}{x}
ight)_{max}=-2sqrt{2}),当且仅当(x=cfrac{2}{x}),即(x=-sqrt{2})时取到等号,
故实数(a)的取值范围为((-infty,-2sqrt{2}))。
法2:从反面入手分析,略。
分析:由于函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax)在(R)上存在单调递减区间,
则(f'(x)=x^2-2x+a<0)在(R)上能成立,即(a<-(x^2-2x))能成立,
令(g(x)=-(x^2-2x)=-(x-1)^2+1),则(a<g(x)_{max}=1),
故(a<1),故(ain (-infty,1)).
反思:若转化为(f'(x)=x^2-2x+aleqslant 0)能成立,则得到(aleqslant 1);
但是,(a=1)时,(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2geqslant 0),不满足题意,故上述转化错误;
用图像语言解释如下:
注意:若函数(f(x))在区间((a,b))存在单调递减区间,应该得到(f'(x)<0)在区间((a,b))有解或能成立,而不是(f'(x)leq 0)在区间((a,b))有解或能成立。
学生认为:函数(f(x))在区间((a,b))存在单调递减区间,应该得到(f'(x)leq 0)在区间((a,b))有解或能成立,这种认识是错误的,这样解释一下啊,
(f'(x)leqslant 0)在区间((a,b))上有解,对应情形一:(f'(x)<0)在区间((a,b))上有解;或情形二:(f'(x)=0)在区间((a,b))上有解;这两个情形只要有一个满足即可,其中情形一求解结果是区间,而情形二求解结果不是区间,故不符合题意,自然就舍去了。
- 类型2:参数包含在给定区间端点处
思路方法:用常规方法求出单调区间,转化为集合之间的包含关系求解;
分析:由(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)),则可知函数(f(x))的单调递减区间为([-1,1]),
又由题设可知,函数(f(x)=x^3-3x+1)存在单调递减区间((a,a+1)),
则(f'(x)=3x^2-3<0)在区间((a,a+1))上恒成立,注意:此处不是能成立;
即有((a,a+1)subseteq [-1,1]),即满足(left{egin{array}{l}{a<a+1}\{ageqslant -1}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.)
解得,(-1leqslant aleqslant 0),即(ain [-1,0])。
解后反思:①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型,否则就不能保证存在这样的单调区间((a,a+1));
②此类题目在命制时要注意,给定的单调区间(A)和求解得到的单调区间(B)的关系,(Asubseteq B),否则解集为空集。比如将题目中的单调区间((a,a+1))更改为单调区间((a-2,2a+1)),则解集(ain varnothing);
①若函数(h(x)=f(x)-g(x))存在单调递减区间,求(a)的取值范围;
分析:(h(x)=lnx-cfrac{1}{2}ax^2-2x),(xin (0,+infty))
所以(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2),由于(h(x))在((0,+infty))上存在单调递减区间,
所以当(xin (0,+infty))时,(cfrac{1}{x}-ax-2<0)有解,[注意:转化为(h'(x)leqslant 0)是错误的]
即(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})有解,设(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}),
所以只要(a>G(x)_{min})即可。
而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1),则(G(x)_{min}=-1),
所以(a>-1),又由于(a eq 0),
故(a)的取值范围为((-1,0)cup(0,+infty))。
②若函数(h(x)=f(x)-g(x))在区间([1,4])上单调递减,求(a)的取值范围;
分析:由于(h(x)=f(x)-g(x))在区间([1,4])上单调递减,
故当(xin [1,4])时,(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2leqslant 0)恒成立;
即(ageqslant cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})恒成立,
由①可知,(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}),所以(ageqslant G(x)_{max}),
而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1),
(xin [1,4]),所以(cfrac{1}{x}in [cfrac{1}{4},1]),
则(G(x)_{max}=-cfrac{7}{16})(此时(x=4)),
所以(ageqslant -cfrac{7}{16}),又由于(a eq 0),
所以(a)的取值范围为([-cfrac{7}{16},0)cup(0,+infty))。
探究性问题
解析:假设存在实数(a),使得函数(g(x)=f(x)-ax)在((0,+infty))上单调递增,
则(g'(x)=f'(x)-a=x-cfrac{2a}{x}-2geqslant 0)恒成立,
即(2aleqslant x^2-2x)在((0,+infty))上恒成立,
而函数(h(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1),则(h(x)_{min}=-1),
故(2aleqslant -1),即(aleqslant -cfrac{1}{2})。
当(a=-cfrac{1}{2})时,原函数(g(x))明显不是常函数,故满足题意;
综上所述,(ain (-infty,-cfrac{1}{2}])。
变式训练
提示:导数法,(f'(x)>0)有解,分离参数,再转化为求新函数的最值问题即可,结果:(ain (-infty,2ln2-2));