BZOJ_1999_[Noip2007]Core树网的核

BZOJ_1999_[Noip2007]Core树网的核_单调队列+树形DP

Description

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离： d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即。任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

Input

包含n行：第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。所给的数据都是正确的，不必检验。

Output

只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

Sample Input

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

Sample Output

HINT

对于70%的数据，n<=200000
对于100%的数据：n<=500000, s<2^31, 所有权值<500

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似乎SPOJ上加强版的数据...

先随便找到一条直径，拽出来。想象成直径是一条链，然后每个点下面挂着几个子树。

预处理每个点向下延伸的最长长度。

考虑选择的一段一定越长越好。

于是可以双指针扫一遍直径，每次求一下左边到l，右边到r，l~r中向下延伸的最长长度，更新答案即可。

l~r中向下延伸的最长长度用一个单调队列来做。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
inline char nc() {
    static char buf[100000],*p1,*p2;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd() {
    int x=0; char s=nc();
    while(s<'0'||s>'9') s=nc();
    while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0',s=nc();
    return x;
}
#define N 500050
#define FV(x) for(i=head[x];i;i=nxt[i])
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt,n,val[N<<1],L[N],rt1,rt2,dis1[N],dis2[N],fa[N],S,vis[N],a[N],la,dep[N],sum[N],w[N];
int mxl[N],mxr[N],Q[N];
inline void add(int u,int v,int w) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt; val[cnt]=w;
}
void df1(int x,int y) {
    int i;
    if(dis1[x]>dis1[rt1]) rt1=x;
    FV(x) {
        if(to[i]!=y) {
            dis1[to[i]]=dis1[x]+val[i];
            df1(to[i],x);
        }
    }
}
void df2(int x,int y) {
    int i; fa[x]=y;
    if(dis2[x]>dis2[rt2]) rt2=x;
    FV(x) {
        if(to[i]!=y) {
            w[to[i]]=val[i];
            dis2[to[i]]=dis2[x]+val[i];
            df2(to[i],x);
        }
    }
}
void df3(int s,int x,int y) {
    int i; L[s]=max(L[s],dep[x]);
    FV(x) {
        if(to[i]!=y&&!vis[to[i]]) {
            dep[to[i]]=dep[x]+val[i];
            df3(s,to[i],x);
        }
    }
}
int main() {
    n=rd(); S=rd();
    int i,x,y,z,k;
    for(i=1;i<n;i++) x=rd(),y=rd(),z=rd(),add(x,y,z),add(y,x,z);
    df1(1,0); df2(rt1,0);
    for(i=rt2;i;i=fa[i]) vis[i]=1,a[++la]=i;
    for(i=2;i<=la;i++) df3(i,a[i],0),sum[i]=sum[i-1]+w[a[i-1]];
    for(i=1;i<=la;i++) mxl[i]=max(mxl[i-1]+w[a[i-1]],L[i]);
    for(i=la;i;i--) mxr[i]=max(mxr[i+1]+w[a[i]],L[i]);
    // for(i=1;i<=la;i++) printf("%d %d
",mxl[i],mxr[i]);
    // for(i=1;i<=la;i++) printf("%d %d %d
",a[i],sum[i],L[i]);
    int j=0,ll=0,rr=0,ans=1<<30;
    for(i=1;i<=la;i++) {
        int l=j,r;
        while(j<la&&sum[j+1]-sum[i]<=S) j++;
        r=j;
        while(ll<rr&&Q[ll]<i) ll++;
        for(k=l+1;k<=r;k++) {
            while(ll<rr&&L[k]>L[Q[rr-1]]) rr--;
            Q[rr++]=k;
        }
        ans=min(max(max(L[Q[ll]],mxl[i]),mxr[j]),ans);
    }
    printf("%d
",ans);
}