【转】完美洗牌算法

转自：https://yq.aliyun.com/articles/3575

题目

有个长度为2n的数组{a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn}，希望排序后{a1,b1,a2,b2,….,an,bn}，请考虑有无时间复杂度o(n)，空间复杂度0(1)的解法。

来源

2013年UC的校招笔试题

思路一

第①步、确定b1的位置，即让b1跟它前面的a2，a3，a4交换：

a1，b1，a2，a3，a4，b2，b3，b4

第②步、接着确定b2的位置，即让b2跟它前面的a3，a4交换：

a1，b1，a2，b2，a3，a4，b3，b4

第③步、b3跟它前面的a4交换位置：

a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4

b4已在最后的位置，不需要再交换。如此，经过上述3个步骤后，得到我们最后想要的序列。但此方法的时间复杂度为O（n^2）

代码一

 1 /*---------------------------------------------
 2 *   日期：2015-02-13
 3 *   作者：SJF0115
 4 *   题目: 完美洗牌算法
 5 *   来源：2013年UC的校招笔试题
 6 *   博客：
 7 -----------------------------------------------*/
 8 #include <iostream>
 9 using namespace std;
10 
11 class Solution {
12 public:
13     void PerfectShuffle(int *A,int n){
14         if(n <= 1){
15             return;
16         }//if
17         //
18         int size = 2*n;
19         int index,count;
20         for(int i = n;i < size;++i){
21             // 交换个数
22             count = n - (i - n) - 1;
23             // 待交换
24             index = i;
25             for(int j = 1;j <= count;++j){
26                 swap(A[index],A[i-j]);
27                 index = i - j;
28             }//for
29         }//for
30     }
31 };
32 
33 
34 int main() {
35     Solution solution;
36     int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8};
37     solution.PerfectShuffle(A,4);
38     for(int i = 0;i < 8;++i){
39         cout<<A[i]<<" ";
40     }//for
41     cout<<endl;
42 }

思路二

我们每次让序列中最中间的元素进行两两交换。还是上面的例子：

a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4

第①步：交换最中间的两个元素a4，b1：

a1，a2，a3，b1，a4，b2，b3，b4

第②步：最中间的两对元素各自交换：

a1，a2，b1，a3，b2，a4，b3，b4

第③步：交换最中间的三对元素：

a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4

此思路同上述思路一样，时间复杂度依然为O（n^2）。仍然但不到题目要求。

代码二

 1 /*---------------------------------------------
 2 *   日期：2015-02-13
 3 *   作者：SJF0115
 4 *   题目: 完美洗牌算法
 5 *   来源：2013年UC的校招笔试题
 6 *   博客：
 7 -----------------------------------------------*/
 8 #include <iostream>
 9 using namespace std;
10 
11 class Solution {
12 public:
13     void PerfectShuffle(int *A,int n){
14         if(n <= 1){
15             return;
16         }//if
17         //
18         int left = n - 1,right = n;
19         // 交换次数
20         for(int i = 0;i < n-1;++i){
21             for(int j = left;j < right;j+=2){
22                 swap(A[j],A[j+1]);
23             }//for
24             --left;
25             ++right;
26         }//for
27     }
28 };
29 
30 
31 int main() {
32     Solution solution;
33     int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
34     solution.PerfectShuffle(A,5);
35     for(int i = 0;i < 10;++i){
36         cout<<A[i]<<" ";
37     }//for
38     cout<<endl;
39 }

思路三（完美洗牌算法）

玩过扑克牌的朋友都知道，在一局完了之后洗牌，洗牌人会习惯性的把整副牌大致分为两半，两手各拿一半对着对着交叉洗牌。

2004年，microsoft的Peiyush Jain在他发表一篇名为：“A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle”的论文中提出了完美洗牌算法。

什么是完美洗牌问题呢？即给定一个数组a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3..bn,最终把它置换成b1,a1,b2,a2,…bn,an。这个完美洗牌问题本质上与本题完全一致，只要在完美洗牌问题的基础上对它最后的序列swap两两相邻元素即可。

（1）对原始位置的变化做如下分析：

（2）依次考察每个位置的变化规律：
a1：1 -> 2
a2：2 -> 4
a3：3 -> 6
a4：4 -> 8
b1：5 -> 1
b2：6 -> 3
b3：7 -> 5
b4：8 -> 7

对于原数组位置i的元素，新位置是(2*i)%(2n+1)，注意，这里用2n表示原数组的长度。后面依然使用该表述方式。有了该表达式，困难的不是寻找元素在新数组中的位置，而是为该元素“腾位置”。如果使用暂存的办法，空间复杂度必然要达到O(N)，因此，需要换个思路。

（3）我们这么思考：a1从位置1移动到位置2，那么，位置2上的元素a2变化到了哪里呢？继续这个线索，我们得到一个“封闭”的环：

1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 7 -> 5 -> 1

沿着这个环，可以把a1、a2、a4、b4、b3、b1这6个元素依次移动到最终位置；显然，因为每次只移动一个元素，代码实现时，只使用1个临时空间即可完成。(即：a=t;t=b;b=a)
此外，该变化的另外一个环是：

3 -> 6 -> 3

沿着这个环，可以把a3、b2这2个元素依次移动到最终位置。

 1 // 走圈算法
 2     void CycleLeader(int *a,int start, int n) {
 3         int pre = a[start];
 4         // 2 * i % (2 * n + 1)
 5         int mod = 2 * n + 1;
 6         // 实际位置
 7         int next = start * 2 % mod;
 8         // 按环移动位置
 9         while(next != start){
10             swap(pre,a[next]);
11             next = 2 * next % mod;
12         }//while
13         a[start] = pre;
14     }

4）上述过程可以通过若干的“环”的方式完整元素的移动，这是巧合吗？事实上，该问题的研究成果已经由Peiyush Jain在10年前公开发表在A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle, Microsoft, 2004中。原始论文直接使用了一个结论，这里不再证明：对于2*n =（3^k-1）这种长度的数组，恰好只有k个环，且每个环的起始位置分别是1,3,9，…3^(k-1)。
对于上面的例子，长度为8，是3^2-1，因此，只有2个环。环的起始位置分别是1和3。

（5）至此，完美洗牌算法的“主体工程”已经完工，只存在一个“小”问题：如果数组长度不是（3^k-1）呢？

若2n!=（3^k-1），则总可以找到最大的整数m，使得m< n，并且2m=（3^k-1）。

对于长度为2m的数组，调用（3）和（4）中的方法整理元素，剩余的2（n-m）长度，递归调用（5）即可。

（6）需要交换一部分数组元素

（下面使用[a,b]表示从a到b的一段子数组，包括端点）
①图中斜线阴影部分的子数组[1，m]应该和[n + 1,n + m]组成一个数组，调用（3）和（4）中的算法；
②数组[m+1,m+n]循环左移n-m次即可。（循环位移是存在空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)的算法）

（7）原始问题要输出a1,b1,a2,b2……an,bn，而完美洗牌却输出的是b1,a1,b2,a2,……bn,an。解决办法非常简单：忽略原数组中的a1和bn，对于a2,a3,……an,b1,b2,……bn-1调用完美洗牌算法，即为结论。

举个例子： n = 6
a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6

循环左移

介绍一下时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O（1）的循环移位操作。
思路：
假设循环左移m位。把数组分成两段，第一段为前m个元素，第二段为剩余元素。把第一段和第二段先各自翻转一下，再将整体翻转下。

 1     // 翻转 start 开始位置 end 结束位置
 2     void Reverse(int *a,int start,int end){
 3         while(start < end){
 4             swap(a[start],a[end]);
 5             ++start;
 6             --end;
 7         }//while
 8     }
 9     // 循环左移m位 n数组长度 下标从1开始
10     void LeftRotate(int *a,int m,int n){
11         // 翻转前m位
12         Reverse(a,1,m);
13         // 翻转剩余元素
14         Reverse(a,m+1,n);
15         // 整体翻转
16         Reverse(a,1,n);
17     }

代码：

 1 /*---------------------------------------------
 2 *   日期：2015-02-13
 3 *   作者：SJF0115
 4 *   题目: 完美洗牌算法
 5 *   来源：2013年UC的校招笔试题
 6 *   博客：
 7 -----------------------------------------------*/
 8 #include <iostream>
 9 using namespace std;
10 
11 class Solution {
12 public:
13     // 完美洗牌算法
14     void PerfectShuffle(int *a,int n){
15         while(n >= 1){
16             // 计算环的个数
17             int k = 0;
18             // 3^1
19             int r = 3;
20             // 2 * m  = 3^k - 1
21             // m <= n  ->  2 * m <= 2 * n  -> 3^k - 1 <= 2 * n
22             // 寻找最大的k使得3^k - 1 <= 2*n
23             while(r - 1 <= 2*n){
24                 r *= 3;
25                 ++k;
26             }//while
27             int m = (r / 3 - 1) / 2;
28             // 循环左移n-m位
29             LeftRotate(a+m,n-m,n);
30             // k个环 环起始位置start: 1,3...3^(k-1)
31             for(int i = 0,start = 1;i < k;++i,start *= 3) {
32                 // 走圈
33                 CycleLeader(a,start,m);
34             }//for
35             a += 2*m;
36             n -= m;
37         }
38     }
39 private:
40     // 翻转 start 开始位置 end 结束位置
41     void Reverse(int *a,int start,int end){
42         while(start < end){
43             swap(a[start],a[end]);
44             ++start;
45             --end;
46         }//while
47     }
48     // 循环右移m位 n数组长度 下标从1开始
49     void LeftRotate(int *a,int m,int n){
50         // 翻转前m位
51         Reverse(a,1,m);
52         // 翻转剩余元素
53         Reverse(a,m+1,n);
54         // 整体翻转
55         Reverse(a,1,n);
56     }
57     // 走圈算法
58     void CycleLeader(int *a,int start, int n) {
59         int pre = a[start];
60         // 2 * i % (2 * n + 1)
61         int mod = 2 * n + 1;
62         // 实际位置
63         int next = start * 2 % mod;
64         // 按环移动位置
65         while(next != start){
66             swap(pre,a[next]);
67             next = 2 * next % mod;
68         }//while
69         a[start] = pre;
70     }
71 };
72 
73 
74 int main() {
75     Solution solution;
76     int A[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};
77     solution.PerfectShuffle(A,6);
78     for(int i = 1;i <= 12;++i){
79         cout<<A[i]<<" ";
80     }//for
81     cout<<endl;
82 }

拓展一

问题：如果输入是a1,a2,……an, b1,b2,……bn, c1,c2,……cn，要求输出是c1,b1,a1,c2,b2,a2,……cn,bn,an怎么办？
分析：这个问题本质上其实还是上面的完美洗牌算法一样，我们一样还是分析其规律。

对于原数组位置i的元素，新位置是(3*i)%(3n+1)

图中所说的步骤三四五和上面的三四五大体一样，只是细节不太一样，看图就明白了。

引用：
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/10212493
http://ask.julyedu.com/question/33
http://blog.csdn.net/caopengcs/article/details/10521603
http://cs.stackexchange.com/questions/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400