Problem
题意概述：甲抛掷 (a) 次硬币，乙抛掷 (b) 次硬币，问有多少种情况甲正面向上的次数比乙多，答案对 (10^k) 取模
对于 (10\%) 的数据，(a,ble 20)；
对于 (30\%) 的数据，(a,ble 100)；
对于 (70\%) 的数据，(a,ble 100000)，其中有 (20\%) 的数据满足 (a=b)；
对于 (100\%) 的数据，(1le a,ble {10}^{15}, ble ale b+10000, 1le kle 9)，数据组数小于等于 (10)
10分
枚举俩人的抛掷方式，存下来合并后统计（没有存在的意义） (O(2^a+2^b+ab))
30分
(sum_{i=1}^ainom aisum_{j=0}^{min(b,i-1)}inom bj)，组合数需预处理 (O(ab))
+20分
由于整个游戏是绝对公平的，即甲赢的概率与乙相当，考虑所有情况减去平局再除以(2)，得到 (frac {2^{a+b}-sum_{i=0}^ainom ai^2}2=frac {2^{a+b}-inom {2a}a}2)
70分
考虑预处理 (f(i)=sum_{j=0}^{min(b,i-1)}inom bj)，再枚举 (i) 求和 (O(a+b))
（+20分与70分部分由于模数非质数则需crt或将阶乘拆解成(kcdot 2^xcdot 5^y)的形式进行模拟除法）
100分
由+20做法可扩展，只需再加上甲赢且对称局面乙赢不了的情况再整体除以(2)即可，关键在于求新加的这个东西
设甲抛掷 (a) 次，得 (x) 次正面；乙抛掷 (b) 次，得 (y) 次正面
则当前情况甲赢，且对称情况乙赢不了（对称情况可以是平局）可以列出式子
已知 (a,b)，解出 (0<x-yleq a-b)，则这一部分的答案已经可以表示为
由于 (a,b) 都很大，但 (a-bleq 10^4)，从此入手，将其提出来
考虑之前+20的做法中(suminom ai^2=suminom aiinom a{a-i}=inom {2a}a)，这里后面(sum inom a{y+t}inom by=sum inom a{y+t}inom b{b-y}=inom {a+b}{(y+t)+(b-y)}=inom {a+b}{b+t})
则后面答案为 (sum_{t=1}^{a-b}inom {a+b}{b+t})
则整体答案为
由于需要模合数，需要使用(mathsf {exLucas})解决……
至于如何除以 (2)，可以将模数翻倍，最后直接除以 (2)
然后就TLE爆零了 分数不如暴力70，除此之外，还需要注意一些卡常技巧（从(60s+)到(3s)的华丽蜕变)
模数优化
由于模数只能是(10^k)，所以可以考虑只模(10^9)，最后再模(10^k)，可以保证模数唯一，从而预处理模数的质因子分解
模数的质因子只有 (2) 和 (5)，可以储存下来，对应的 (p^k) 分别为 (2^{10},5^9)
（到这里能拿 (30) 分啦）
调用优化
（优化效果特明显）
将两个模数开两个namespace，每个namespace内部由于模数相等，不需要传递模数
（到这里能拿 (70) 分啦）
组合数
由于 (inom nm = inom n{n-m})
而得到的式子 (sum_{t=1}^{a-b}inom{a+b}{b+t}) 中以 (frac {a+b}2) 为中心轴，两侧组合数对称，只要算一半即可（中间值特判一下）
Fac优化
由于每次询问的组合数下标都是 (a+b)，所以可以在每组数据中预处理出 (Fac(a+b))，就不用每次重新调用了
预处理
(p^k)以内除去(p)的阶乘 是可以预处理的，同样 (p^k) 也是可以预处理的
至于是否要预处理所有 除去 (p) 的阶乘，由于询问次数较少，预处理耗时不比直接询问快
（到这里能拿 (100) 分啦）
玄学优化
（优化效果最明显）
若在函数 C(ll n,ll m,ll pi,ll pk)中，算出的 (k) 若比 (pk) 的幂次大，则直接返回 0ll
HN的题真毒，考场上遇到这题还是不要写正解，写了也被卡常
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p = 2e9;
const int pw2 = 1024;
const int pw5 = 1953125;
int fac[2][pw5+2];
int Pw [2][pw5+2];
void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
if(!b){x = 1, y = 0; return ;}
exgcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x;
}
inline ll inv(ll n,ll mod){
ll x,y; exgcd(n,mod,x,y);
return (x+mod)%mod;
}
namespace Lucas2{
const int pi = 2;
const int pk = pw2;
ll k_n;int Fac_n;
inline ll inv(ll n){ll x,y; exgcd(n,pk,x,y);return (x+pk)%pk;}
inline ll qpow(ll A,ll B){ll res(1ll);while(B){if(B&1)res=res*A%pk;A=A*A%pk,B>>=1;}return res;}
ll Fac(ll n){
if(!n) return 1ll;
ll res = 1ll;
res = fac[0][pk];
res = qpow(res,n/pk);
res = res * fac[0][n%pk]%pk;
return res * Fac(n/pi)%pk;
}
inline ll C(ll n,ll m){
ll k = k_n;
for(ll i = m; i; i/=pi) k -= i/pi;
for(ll i=n-m; i; i/=pi) k -= i/pi;
if(k>=10) return 0ll;
ll d0 = Fac_n;
ll d1 = Fac(m);
ll d2 = Fac(n-m);
return d0 * inv(d1)%p * inv(d2)%p * Pw[0][k]%pk;
}
inline ll CRT(ll b){return b * inv(p/pk)%p * (p/pk)%p;}
inline void pre(ll n){
Fac_n = Fac(n),k_n = 0ll;
for(ll i = n; i; i/=pi)k_n += i/pi;
}
}
namespace Lucas5{
const int pi = 5;
const int pk = pw5;
ll k_n;int Fac_n;
inline ll inv(ll n){ll x,y; exgcd(n,pk,x,y);return (x+pk)%pk;}
inline ll qpow(ll A,ll B){ll res(1ll);while(B){if(B&1)res=res*A%pk;A=A*A%pk,B>>=1;}return res;}
ll Fac(ll n){
if(!n) return 1ll;
ll res = 1ll;
res = fac[1][pk];
res = qpow(res,n/pk);
res = res * fac[1][n%pk]%pk;
return res * Fac(n/pi)%pk;
}
inline ll C(ll n,ll m){
ll k = k_n;
for(ll i = m; i; i/=pi) k -= i/pi;
for(ll i=n-m; i; i/=pi) k -= i/pi;
if(k>=9) return 0ll;
ll d0 = Fac_n;
ll d1 = Fac(m);
ll d2 = Fac(n-m);
return d0 * inv(d1)%p * inv(d2)%p * Pw[1][k]%pk;
}
inline ll CRT(ll b){return b * inv(p/pk)%p * (p/pk)%p;}
inline void pre(ll n){
Fac_n = Fac(n),k_n = 0ll;
for(ll i = n; i; i/=pi)k_n += i/pi;
}
}
ll exLucas(ll n,ll m){
ll res = 0ll;
res += Lucas2::CRT(Lucas2::C(n,m));
res += Lucas5::CRT(Lucas5::C(n,m));
return res%p;
}
char ss[10];
void print(int x,int pp){
x%=(int)pow(10,pp);
ss[0] = '%', ss[1] = '0';
sprintf(ss+2,"%dd
",pp);
printf(ss,x);
}
void prework(int a,int b){
int*arr=fac[a==5];
int*trr= Pw[a==5];
arr[0]=trr[0]=1;
for(int i=1;i<=b;++i){
trr[i] = (ll)trr[i-1]*a%b;
arr[i] = arr[i-1];
if(i%a)arr[i]=(ll)arr[i]*i%b;
}
}
inline ll qpow(ll A,ll B){
ll res(1ll);while(B){
if(B&1) res = res*A%p;
A = A*A%p, B>>=1;
}return res;
}
int main(){
ll a,b;int pp;
prework(2,pw2);
prework(5,pw5);
while(~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&pp)){
ll res = qpow(2,a+b);
Lucas2::pre(a+b);
Lucas5::pre(a+b);
// res = (res - exLucas(a+b,a)+p)%p;
// for(int i=1;i<=a-b;++i) res = (res + exLucas(a+b,b+i))%p;
if(a == b){
res = (res - exLucas(a+b,a)+p)%p;
print(res>>1,pp); continue;
}
for(ll i=(a+b-1>>1);i!=b;--i)
res = (res + 2ll*exLucas(a+b,i))%p;
if(0 == ((a+b)&1))
res = (res + exLucas(a+b,a+b>>1))%p;
print(res>>1,pp);
}
return 0;
}