洛谷 P1045 麦森数

题目描述

形如 $2^{P}-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^{P}-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。$

任务：从文件中输入 $P（1000<P<3100000），计算2^{P}-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）$

输入输出格式

输入格式：

文件中只包含一个整数

输出格式：

第一行：十进制高精度数 $2^{P}-1的位数。$

第2-11行：十进制高精度数 $2^{P}-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）$

不必验证 $2^{P}-1与P是否为素数。$

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
解题思路：
本题正确解法为高精度加快速幂，怎样求位数呢，公式：log10(2) * p + 1。再想如何求五百位，如果暴力一次次乘的话，会TLE，那么我们想到了快速幂，再加上高精度就AC了，需要注意的是题目只让求后五百位，所以我们每次只保存后五百位就可以了，因为前面无论是多少都不影响答案。
AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 int p,f[1101],res[1001],sav[1001];
 7 void rr1() {
 8     memset(sav,0,sizeof(sav));
 9     for(int i = 1;i <= 500; i++)
10         for(int j = 1;j <= 500; j++)
11             sav[i+j-1] += res[i] * f[j];//每一位都相乘，但是暂时不考虑进位 
12     for(int i = 1;i <= 500; i++) {//进位 
13         sav[i+1] += sav[i] / 10;
14         sav[i] %= 10;
15     }
16     memcpy(res,sav,sizeof(res));//将sav赋值给res 
17 }
18 void rr2() {
19     memset(sav,0,sizeof(sav));
20     for(int i = 1;i <= 500; i++)
21         for(int j = 1;j <= 500; j++)
22             sav[i+j-1] += f[i] * f[j];//每一位都相乘，但是暂时不考虑进位 
23     for(int i = 1;i <= 500; i++) {//进位 
24         sav[i+1] += sav[i] / 10;
25         sav[i] %= 10;
26     }
27     memcpy(f,sav,sizeof(f));//将sav赋值给f 
28 }
29 int main() {
30     scanf("%d",&p);
31     printf("%d
",(int)(log10(2) * p + 1));
32     res[1] = 1;
33     f[1] = 2;//高精度赋初值 
34     while(p != 0) {//快速幂过程 
35         if(p % 2 == 1) rr1();
36         p /= 2;
37         rr2();
38     }
39     res[1] -= 1;
40     for(int i = 500;i >= 1; i--)
41         if(i != 500 && i % 50 == 0) printf("
%d",res[i]);//50位就换行 
42         else printf("%d",res[i]);
43     return 0;
44 }

//NOIP普及 2003 T4