高等数学函数求导

基本公式求导

1. ((C)'=0)

2. ((x^a)'=ax^a-1)

3. ((a^x)'=a^xlna)

   ((e^x)'=e^x)

4. ((log~a~x)'=frac{1}{xlna})

   ((lnx)'=frac{1}{x})

5. 三角函数相关

   1. ((sinx)'=cosx)
   2. ((cosx)'=-sinx)
   3. ((tanx)'=frac{1}{cos^2x}=sec^2x)
   4. ((cotx)'=-csc^2x)
   5. ((secx)'=secxtanx)
   6. ((cscx)'=-cscxcotx)

6. 反三角函数相关

   1. ((arcsinx)'=frac{1}{sqrt{1-x^2}}(-1<x<1))
   2. ((arccosx)'=-frac{1}{sqrt{1-x^2}}(-1<x<1))
   3. ((arctanx)'=frac{1}{1+x^2}(-infin<x<+infin))
   4. ((arccotx)'=-frac{1}{1+x^2}(-infin<x<infin))

四则运算求导：

1. ((uplusmn v)'=u'plusmn v')
2. ((uv)'=u'v+uv')
3. ((frac{u}{v})'=frac{u'v-uv'}{v^2})

复合函数求导

(frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=f'[psi(x)]cdotpsi'(x))

高阶求导

• 归纳法

  • (sinx)的n阶导数：((sinx)^{(n)}=sin(x+frac{npi}{2}))

    (cosx)的n阶导数：((cosx)^{(n)}=cos(x+frac{npi}{2}))

  • (y=e^xsinx)的n阶导数：(y^{(n)}=(sqrt2)^{(n)}e^xsin(x+frac{npi}{4}))

  • (y=frac{1}{ax+b})的n阶导数：(y^{(n)}=frac{(-1)^nn! imes a^n}{(ax+b)^{n+1}})

  • (y=ln(ax+b))的n阶导数：(y^{(n)}=frac{(-1)^{n-1}(n-1)! imes a^n}{(ax+b)^n})

• 公式法

  莱布尼茨公式：

  ((u v)^{(n)}=C^0_nu^{n}v+C^1_nu^{n-1}v'+C^2_nu^{n-2}v''+……+C^n_n u v^{(n)})

隐函数求导

由参数方程确定的导数