证明如下：
系数可取值
1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1， k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整数
前n项和为2^k-1,那么最后一项为 n[i]-2^k+1
这些系数之和为n[i],且0--n[i]间的每一个整数均可以用若干个系数的和表示
证明如下：
①先证明区间0..2^k-1, 我们有系数1,2,4...2^(k-1) 即k个数，第k个数的二进制的只有第k位为1
而区间0..2^k-1为二进制第0位到第k-1位是否取值为1的组合，都可以由上面的系数组合得到
②再证明区间2^k..n[i],我们与系数1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1
那么可以由上面的系数组和得到
n[i]-0,n[i]-1,n[i]-2,n[i]-3,n[i]-2^k+1,
那么只要证明n[i]-2^k+1 <2^k,即证明n[i]+1<2^(k+1)
假设n[i]+1>=2^(k+1)成立，即n[i]-2^(k+1)+1>=0成立，
与前面要求的k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整数矛盾，所以假设不成立。
综合①②，0--n[i]区间的每一个整数均可以用若干个系数的和表示
题目地址：http://poj.org/problem?id=1276
1 /* 2 有n件物品和一个容量为v的背包，第i种物品最多有n[i]件可用， 3 每件费用是c[i],价值是w[i],求解将哪些物品放入背包 4 使费用总和不超过背包容量且价值总和最大 5 6 for(i=1; i<=n; ++i) 7 for(j=0; j<=v; ++j) 8 for(k=0; k*c[i]<=j; ++k) 9 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]); 10 时间复杂度为O(V*∑n[i]); 11 另一种思想是二进制优化,时间复杂度为O(V*∑log(n[i])); 12 详见图片 13 */ 14 #include <stdio.h> 15 #include <string.h> 16 int cash; 17 int n[11],dk[11]; 18 int dp[1000000]; 19 inline int max(const int &a, const int &b) 20 { 21 return a < b ? b : a; 22 } 23 void CompletePack(int cost) 24 { 25 for(int i=cost; i<=cash; ++i) 26 dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost); 27 } 28 void ZeroOnePack(int cost) 29 { 30 for(int i=cash; i>=cost; --i) 31 dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost); 32 } 33 void MultiplePack(int cnt, int cost) 34 { 35 if(cnt*cost >=cash)//如果第i种物品的费用总和超过背包容量，那么就是完全背包问题 36 CompletePack(cost); 37 else 38 { 39 int k = 1;//二进制拆分 40 while(k<cnt)//判断剩下的数字能不能够拆分为k 41 { 42 ZeroOnePack(cost*k); 43 cnt -=k; 44 k<<=1; 45 } 46 ZeroOnePack(cnt*cost); 47 } 48 } 49 int main() 50 { 51 int N,i,k,cnt,j; 52 while(scanf("%d%d",&cash,&N)!=EOF) 53 { 54 memset(dp,0,sizeof(dp)); 55 for(i=1; i<=N; ++i) 56 scanf("%d%d",&n[i],&dk[i]); 57 for(i=1; i<=N; ++i) 58 { 59 MultiplePack(n[i],dk[i]); 60 } 61 printf("%d ",dp[cash]); 62 } 63 return 0; 64 }
O(VN)算法：待学习