在离散数学的第一堂课就被介绍了Set和Proper Class的区别。 与高中内容不同，现代数学中并不是任取一些元素都能组成一个Set，某些东西归在一起只能形成Proper Class（因为这个东西不满足集合的一些性质）
根据ZFC公理系统，我们可以知道关于集合的若干条公理，也就是说满足这些的才是集合，而推断某个东西不是集合常用反证的方法，下面来看几个栗子
Prove that the set of all sets is a proper class. 这个比较简单。假设这东西是一个集合，记为 (S)，那么根据Cantor's Theorem我们有 (|S|<|2^S|)。 而根据幂集公理(Axiom of power set)可知，(2^S) 也是一个集合，于是有 (2^Ssubset S)，也就是 (|2^S|le |S|)，矛盾
Prove that the set of all cardinals is a proper class. 这周的作业，想了很久。。 首先要知道任意多个集合的并、一个集合的幂集都是集合，并且任意集合都唯一对应着一个cardinal，知道这些就比较好做了。 和上面的方法类似，假设这是一个集合 (S)，那么根据并集公理(Axiom of union)我们有 (T=cup S) 也是一个集合，于是 (|T|in S)。 因为 (forall xin S) 都有 (xsubset T)，于是得到 (forall xin S |x|le |T|) 然而 (|T|<|2^T|in S)，这就推出了一个矛盾。 关于the set of all ordinals是一个 proper class的证明和这个类似
Prove that for cardinals (A) and (B)，(A+B=max(A,B)) where at least one of them is infinite 网上有很多证明，然而我都看不太懂，希望有别的做法的朋友可以交流交流;-P 不妨设$Age B$，那么显然有$Ale A+Ble A+A$，我们只需要证明$A=A+A$即可，注意这里的A是cardinal 由于A是一个cardinal，那么它同时也是一个ordinal。对于任意ordinal (x)，(exist alpha,eta s.t. x=alpha+eta)，其中$alpha$是一个limit ordinal，(etainmathbb N) 考虑这样一个映射$f(alpha+eta)=left{eginleft(0,alpha+eta ight)&,&eta &=2k\left(1,alpha+eta ight)&,&eta&=2k+1end ight. left(kinmathbb Z ight)$
显然$forall xin A$，(x) is an ordinal. 那么$A=A+A$等价于证明$|A|=|left(left{0 ight} imes A ight)cupleft(left{1 ight} imes A ight)|$
不难发现$f:Amapstoleft(left{0 ight} imes A ight)cupleft(left{1 ight} imes A ight)$是一个双射，于是就证明完了。