浅谈kdtree

Ⅰ、抛出问题

Description

有一列元素，每一个元素有三个属性:标号、标识符、数值。这些元素按照标号从1_{n排列，标识符也是1}n的一个排列，初始时数值为0。当然我们可以把每个元素看成一个多维数字，那么这列元素就是一个数列。
现在请你维护这个数列，使其能支持以下两种操作：1.将标号为l_{r的所有元素的数值先乘上x，再加上y；2.将标识符为l}r的所有元素的数值先乘上x，再加上y。当然你还得回答某些询问：1.标号为l_{r的所有元素的数值的和；2.标识符为l}r的所有元素的数值的和。

Input

第一行有两个正整数n、m，分别表示数列长度和操作与询问个数的总和。第二行有n个正整数，表示每个元素的标识符，保证这n个数是1~n的一个排列。接下来m行，每行的第一个数字为op。若op为0，则表示要进行第一个操作，接下去四个数字表示l,r,x,y;若op为1，则表示要进行第二个操作，接下去四个数字表示l,r,x,y;若op为2，则表示要回答第一个询问，接下去两个数字表示l,r;若op为3，则表示要回答第二个询问，接下去两个数字表示l,r。

Output

包含若干行，每行表示一个询问的答案。由于答案可能很大，只要请你输出答案对536870912取模后的值即可。

Sample Input

4 4
2 1 4 3
0 2 3 4 5
1 1 3 4 7
2 1 1
3 1 1

Sample Output

7
27
HINT
第一次操作后，数列变为0 5 5 0
第二次操作后，数列变为7 27 5 7
N,M<=50000, 1<=L<=R<=N 0<=X,Y<=2^31-1

Source

bzoj4303数列

Ⅱ、分析问题

kdtree，全称k-dimensional-tree，意思即为k维树，主要用于解决高维空间的修改查询操作，支持打标记，求最近最远点对等，类似于线段树等数据结构，接下来就来详细讲讲kdtree的写法

1、维护的数据

写数据结构，一定要弄清维护了哪些数据
kdtree是一种类似于线段树一样的数据结构，树上每一个节点管辖k维区间中的某一个范围，存每个维度的最大最小值以确定边界
代码：
注：代码中给的是二维kdtree的模板，所以只有两位

struct hahaha{
    int tp,ls,rs,v[2],Max[2],Min[2],val;//tp为当前节点维护的是哪一维，ls,rs分别为左右儿子编号，v存节点坐标，Max和Min维护当前节点管辖区间的最大最小(即边界)，val存当前点的权值
    int cnt,mlt,sum,len;//cnt加标记,mlt乘标记,sum区间和,len区间长度
    bool operator<(const hahaha &y)const{
        return v[T]<y.v[T];//排序方便寻找中位数
    }
}tree[50010];

2、建树

如图，可以看出，kdtree是以一位一位顺次分割的方式建树的，
每次寻找区间中的中位数点，沿当前维度进行分割，如本图为先竖着再横着分割
第一次先找到横向的中位数，竖着分割一次（已用红色标出），在递归左右子树，找竖着的中位数，横向分割，再往下依次递归
以下建树部分代码：

inline void updata(int p){//很显然的更新
    tree[p].Min[0]=min(tree[p].v[0],min(tree[ls(p)].Min[0],tree[rs(p)].Min[0]));//x坐标的最小值
    tree[p].Min[1]=min(tree[p].v[1],min(tree[ls(p)].Min[1],tree[rs(p)].Min[1]));//y坐标的最小值
    tree[p].Max[0]=max(tree[p].v[0],max(tree[ls(p)].Max[0],tree[rs(p)].Max[0]));//x坐标的最大值
    tree[p].Max[1]=max(tree[p].v[1],max(tree[ls(p)].Max[1],tree[rs(p)].Max[1]));//y坐标的最大值
}
inline int build_tree(int l,int r,int tp){//l,r为区间,tp为区间维度
    T=tp;//T也是区间维度，用于查找中位数
    int mid=((l+r)>>1),p=mid;
    nth_element(tree+l,tree+mid,tree+r+1);//这是个查找中位数的神奇函数
    tree[p].tp=tp;
    tree[p].mlt=1;
    tree[p].len=r-l+1;//更新节点信息
    if(l<mid)
        ls(p)=build_tree(l,mid-1,tp^1);//其实这个地方严谨来说应该是(tp+1)%2,因为维度是顺次遍历,假如说有5维,那就是按照0,1,2,3,4,0,1,2...这样的顺序遍历。
        //注意，这里不是像线段树一样l,mid,而是l,mid-1,因为左区间不包括这个点本身
        //之所以这样写是为了卡常
    if(r>mid)
        rs(p)=build_tree(mid+1,r,tp^1);
    updata(p);//再次更新节点信息
    return p;
}

3、修改操作

修改操作指的是将在某个范围内的所有节点的权值更改，支持像线段树一样打标记和下传标记
具体见代码

//注：本题要求的是先乘上一个数再加上一个数，所以有两个标记数组
inline void Add_mlt(int p,int v){
    tree[p].val*=v;
    tree[p].cnt*=v;
    tree[p].mlt*=v;
    tree[p].sum*=v;
}
inline void Add_cnt(int p,int v){
    tree[p].val+=v;
    tree[p].cnt+=v;
    tree[p].sum+=tree[p].len*v;
}
inline void pushdown(int p){
    if(tree[p].mlt!=1){//下传乘标记
        Add_mlt(ls(p),tree[p].mlt);
        Add_mlt(rs(p),tree[p].mlt);
        tree[p].mlt=1;
    }
    if(tree[p].cnt!=0){//下传加标记
        Add_cnt(ls(p),tree[p].cnt);
        Add_cnt(rs(p),tree[p].cnt);
        tree[p].cnt=0;
    }
}
inline void change(int p,int x,int y,int mt,int ct){//p为当前节点,将第T维(T为全局变量，记录当前处理维度)坐标在x与y之间的数都乘上mt,加上ct
    if(tree[p].Max[T]<x||y<tree[p].Min[T])//如果不在要处理的范围内,退出
        return ;
    if(x<=tree[p].Min[T]&&tree[p].Max[T]<=y){//如果都在要处理的范围内,就打上乘标记与加标记
        Add_mlt(p,mt);//加乘标记
        Add_cnt(p,ct);//加加标记
        return ;
    }
    pushdown(p);//下传标记
    if(x<=tree[p].v[T]&&tree[p].v[T]<=y)//如果当前点在处理范围内
        tree[p].val=tree[p].val*mt+ct;//处理当前节点
    change(ls(p),x,y,mt,ct);//修改左子树
    change(rs(p),x,y,mt,ct);//修改右子树
    tree[p].sum=tree[ls(p)].sum+tree[rs(p)].sum+tree[p].val;//更新当前节点
}

5、查询操作

详见注释

inline int ask(int p,int x,int y){//查询T维x到y的和
    if(tree[p].Max[T]<x||y<tree[p].Min[T])//出范围就return 0
        return 0;
    if(x<=tree[p].Min[T]&&tree[p].Max[T]<=y)//在范围之内就返回和
        return tree[p].sum;
    pushdown(p);//下传标记
    int res=ask(ls(p),x,y)+ask(rs(p),x,y);//加上左右子树
    if(x<=tree[p].v[T]&&tree[p].v[T]<=y)
        res+=tree[p].val;//加上这个点本身
    return res;
}

至此，kdtree算法的讲解就到此结束，让我们回到原题
容易想到可以吧原题中的i到j看作一维，吧(p_i)到(p_j)看作第二维，这样就可以看作是在一个二维平面上进行操作
代码(模板)：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define mem(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
using namespace std;
#define Md 536870912
int n,m,T;
inline int read(){
    int datta=0;char chchc=getchar();bool okoko=0;
    while(chchc<'0'||chchc>'9'){if(chchc=='-')okoko=1;chchc=getchar();}
    while(chchc>='0'&&chchc<='9'){datta=datta*10+chchc-'0';chchc=getchar();}
    return okoko?-datta:datta;
}
class kd_tree{//之所以用class是为了装逼
    private:
    public:
    #define ls(p) tree[p].ls
    #define rs(p) tree[p].rs
    int tot,rt;
    struct hahaha{
        int tp,ls,rs,v[2],Max[2],Min[2],val;
        int cnt,mlt,sum,len;
        bool operator<(const hahaha &y)const{
            return v[T]<y.v[T];
        }
    }tree[50010];
    inline void Add(int *a,int v){
        a[0]=a[1]=v;
    }
    inline void updata(int p){
        tree[p].Min[0]=min(tree[p].v[0],min(tree[ls(p)].Min[0],tree[rs(p)].Min[0]));
        tree[p].Min[1]=min(tree[p].v[1],min(tree[ls(p)].Min[1],tree[rs(p)].Min[1]));
        tree[p].Max[0]=max(tree[p].v[0],max(tree[ls(p)].Max[0],tree[rs(p)].Max[0]));
        tree[p].Max[1]=max(tree[p].v[1],max(tree[ls(p)].Max[1],tree[rs(p)].Max[1]));
    }
    inline int build_tree(int l,int r,int tp){
        T=tp;
        int mid=((l+r)>>1),p=mid;
        nth_element(tree+l,tree+mid,tree+r+1);
        tree[p].tp=tp;
        tree[p].mlt=1;
        tree[p].len=r-l+1;
        if(l<mid)
            ls(p)=build_tree(l,mid-1,tp^1);
        if(r>mid)
            rs(p)=build_tree(mid+1,r,tp^1);
        updata(p);
        return p;
    }
    inline void init(){
        Add(tree[0].Max,-INF);
        Add(tree[0].Min,INF);
        F(i,1,n)
            tree[i].v[0]=i,tree[i].v[1]=read();
        rt=build_tree(1,tot=n,0);
    }
    inline void Add_mlt(int p,int v){
        tree[p].val*=v;
        tree[p].cnt*=v;
        tree[p].mlt*=v;
        tree[p].sum*=v;
    }
    inline void Add_cnt(int p,int v){
        tree[p].val+=v;
        tree[p].cnt+=v;
        tree[p].sum+=tree[p].len*v;
    }
    inline void pushdown(int p){
        if(tree[p].mlt!=1){
            Add_mlt(ls(p),tree[p].mlt);
            Add_mlt(rs(p),tree[p].mlt);
            tree[p].mlt=1;
        }
        if(tree[p].cnt!=0){
            Add_cnt(ls(p),tree[p].cnt);
            Add_cnt(rs(p),tree[p].cnt);
            tree[p].cnt=0;
        }
    }
    inline void change(int p,int x,int y,int mt,int ct){
        if(tree[p].Max[T]<x||y<tree[p].Min[T])
            return ;
        if(x<=tree[p].Min[T]&&tree[p].Max[T]<=y){
            Add_mlt(p,mt);
            Add_cnt(p,ct);
            return ;
        }
        pushdown(p);
        if(x<=tree[p].v[T]&&tree[p].v[T]<=y)
            tree[p].val=tree[p].val*mt+ct;
        change(ls(p),x,y,mt,ct);
        change(rs(p),x,y,mt,ct);
        tree[p].sum=tree[ls(p)].sum+tree[rs(p)].sum+tree[p].val;
    }
    inline int ask(int p,int x,int y){
        if(tree[p].Max[T]<x||y<tree[p].Min[T])
            return 0;
        if(x<=tree[p].Min[T]&&tree[p].Max[T]<=y)
            return tree[p].sum;
        pushdown(p);
        int res=ask(ls(p),x,y)+ask(rs(p),x,y);
        if(x<=tree[p].v[T]&&tree[p].v[T]<=y)
            res+=tree[p].val;
        return res;
    }
}K;
int main(){
    n=read();m=read();
    K.init();
    F(i,1,m){
        int opt=read(),l=read(),r=read(),x,y;
        if(opt<=1){
            x=read();y=read();
            T=opt;
            K.change(K.rt,l,r,x,y);
        }
        if(opt>=2){
            T=opt-2;
            printf("%d
",K.ask(K.rt,l,r)&(Md-1));//不这么写会T
        }
    }
    return 0;
}