python 回溯法子集树模板系列 —— 13、最佳作业调度问题

问题

给定 n 个作业，每一个作业都有两项子任务需要分别在两台机器上完成。每一个作业必须先由机器1 处理，然后由机器2处理。

试设计一个算法找出完成这n个任务的最佳调度，使其机器2完成各作业时间之和达到最小。

分析：

看一个具体的例子：

tji 机器1 机器2
作业1 2 1
作业2 3 1
作业3 2 3

最优调度顺序：1 3 2
处理时间：18

这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；

它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。

以1,2,3为例:

作业1在机器1上完成的时间为2,在机器2上完成的时间为3
作业2在机器1上完成的时间为5,在机器2上完成的时间为6
作业3在机器1上完成的时间为7,在机器2上完成的时间为10
3+6+10 = 19

1，3，2

作业1在机器1上完成的时间为2, 在机器2上完成的时间为3
作业3在机器1上完成的时间为4,在机器2上完成的时间为7
作业2在机器1上完成的时间为7,在机器2上完成的时间为8
3+7+8 = 18

解编码：（X1,X2,...,Xn），Xi表示顺序i执行的任务编号。所以，一个解就是任务编号的一个排列。

解空间：{（X1,X2,...,Xn）| Xi属于S，i=1,2,...,n}，S={1,2,...,n}。所以，解空间就是任务编号的全排列。

讲道理，要套用回溯法的全排列模板。

不过，有了前面两个例子做铺垫，这里套用回溯法的子集树模板。

代码

'''
最佳作业调度问题 

tji          机器1     机器2
作业1         2          1
作业2         3          1
作业3         2          3

'''

n = 3 # 作业数
# n个作业分别在两台机器需要的时间
t = [[2,1],
     [3,1],
     [2,3]]
     
x = [0]*n   # 一个解（n元数组，xi∈J）
X = []      # 一组解

best_x = [] # 最佳解（一个调度）
best_t = 0  # 机器2最小时间和

    
# 冲突检测
def conflict(k):
    global n, x, X, t, best_t
    
    # 部分解内的作业编号x[k]不能超过1
    if  x[:k+1].count(x[k]) > 1:
        return True
        
    # 部分解的机器2执行各作业完成时间之和未有超过 best_t
    #total_t = sum([sum([y[0] for y in t][:i+1]) + t[i][1] for i in range(k+1)])
    j2_t = []
    s = 0
    for i in range(k+1):
        s += t[x[i]][0]
        j2_t.append(s + t[x[i]][1])
    total_t = sum(j2_t)
    if total_t > best_t > 0:
        return True
    
    return False # 无冲突

    
# 最佳作业调度问题 
def dispatch(k): # 到达第k个元素
    global n, x, X, t, best_t, best_x
    
    if k == n:  # 超出最尾的元素
        #print(x)
        #X.append(x[:]) # 保存（一个解）
        
        # 根据解x计算机器2执行各作业完成时间之和
        j2_t = []
        s = 0
        for i in range(n):
            s += t[x[i]][0]
            j2_t.append(s + t[x[i]][1])
        total_t = sum(j2_t)
        if best_t == 0 or total_t < best_t:
            best_t = total_t
            best_x = x[:]
    else:
        for i in range(n): # 遍历第k个元素的状态空间，机器编号0~n-1，其它的事情交给剪枝函数
            x[k] = i
            if not conflict(k): # 剪枝
                dispatch(k+1)



# 测试
dispatch(0)
print(best_x) # [0, 2, 1]
print(best_t) # 18