如何理解三维曲面的法线向量公式

在三维中有曲面 $F(x,y,z)=c$ ，求其上任意一点 $A(x, y ,z)$ 的法向量。公式很简单，就是 $old{n}=(F_{x}, F_{y}, F_{z})$ 。但是我怎么也想不通为什么公式是这样的。

其实我有些隐隐感觉到这和求极值的拉格朗日乘数法有些关联。因为其中也是 $F_{lambda } =0$ 等一列条件被满足时，解可能是最大值或最小值。看机器学习公开课时，其中提到可以把multiplier看成是一个超平面，对各参数偏导全为零时就是法线方向，为极值balabala...但是我也同样不能理解拉格朗日乘数法，只知道背公式...哭

三维空间中的曲面 $F(x,y,z)=c$ 可理解为三维空间中的标量场 $F(x,y,z)$ 的等值面， $abla F=(F_x,F_y,F_z)$ 是每一点处的梯度，也就是值的变化最大的方向，直观上就是该等值面的法向方向。

考虑全微分公式
$egin{align*} dF &=F(x+dx,y+dy,z+dz)-F(x,y,z) \ &=frac{partial F}{partial x}dx+frac{partial F}{partial y}dy+frac{partial F}{partial z}dz \ &=F_xdx+F_ydy+F_zdz end{align*}$
若 $(x+dx,y+dy,z+dz)$ 和 $(x,y,z)$ 都在曲面 $F=c$ 上，则 $dF=0$ ，于是 $(F_x,F_y,F_z)cdot(dx,dy,dz)=0$
即 $(F_x,F_y,F_z)$ 与曲面上的 $(x,y,z)$ 附近的任意极小线段垂直，即它是曲面的法向量。写得不严格，大致是这么个意思。

和拉格朗日乘子没直接关系吧，即使有关系，也是通过 $abla$ 的间接关系。算子 $abla=(frac{partial}{partial x},frac{partial}{partial y},frac{partial}{partial z})$ 的各种运算和含义，需要在一些例子中理解，在任何一本微积分教材中都会涉及。初学的时候基本上都要死记一些，后面熟了之后才会理解。