例15 除法算式
问题描述
输入正整数n（2≤n≤68），按从小到大输出所有形如abcde/fghi=n的表达式。其中a~i为1~9的一个排列。
输入格式
每行为一个正整数n (n <= 1500)，输入n=0结束。
输出格式
输出满足条件的所有形如abcde/fghi=n的表达式，每个表达式占一行，具体格式参见输出样例。
输入样例
4
20
62
0
输出样例
15768/3942=4
17568/4392=4
23184/5796=4
31824/7956=4
No Solution!
79546/1283=62
94736/1528=62
（1）编程思路。
本例需要先确定好穷举的思路。虽然题目说a~i为1~9的一个排列，但穷举1~9的所有排列显然没有必要。
可以穷举除数fghi，这是一个4位数，最小可为1234，最大可为9876，然后按fghi*n计算出abcde，最后判断这9个数字是否不相同。
为判断9个数字是否相同，可以定义一个数组flag[10]，其中flag[i]的值表示数字i在算式中出现的次数，显然flag[1]~flag[9]的值全为1才满足要求。
另外，在穷举时进行适当优化。若计算出abcde小于12345，显然除数fghi太小，直接增大除数进行下次穷举；若计算出abcde大于98765，显然除数fghi太大，不再可能找到解，直接退出穷举循环。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,x,y,i,flag[10],t;
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
t=0;
for (y=1234;y<=9876;y++)
{
x=y*n;
if (x<12345) continue;
if (x>98765) break;
for (i=0;i<10;i++)
flag[i]=0;
flag[x/10000]++; flag[x%10000/1000]++;
flag[x%1000/100]++; flag[x%100/10]++;
flag[x%10]++;
flag[y/1000]++; flag[y%1000/100]++;
flag[y%100/10]++; flag[y%10]++;
for (i=1;i<10;i++)
if (flag[i]!=1) break;
if (i==10)
{
printf("%d/%d=%d ",x,y,n);
t++;
}
}
if (t==0) printf("No Solution! ");
}
return 0;
}
习题15
15-1 完美立方
问题描述
a3 +b3 + c3 = d3为完美立方等式。例如13 + 63 + 83 =93。编写一个程序，输出100以内的所有四元组（a, b, c, d），使得a3 +b3 + c3 = d3，其中1≤a< b< c< d≤100。
输入格式
无输入
输出格式
100以内所有满足a3 +b3 + c3 = d3的四元组（a, b, c, d），每行输出5组。
输入样例
无输入
输出样例
( 3, 4, 5, 6) ( 1, 6, 8, 9) ( 6, 8, 10, 12) ( 2, 12, 16, 18) ( 9, 12, 15, 18)
( 3, 10, 18, 19) ( 7, 14, 17, 20) ( 12, 16, 20, 24) ( 4, 17, 22, 25) ( 3, 18, 24, 27)
……
（1）编程思路。
因为要求100以内所有满足a3 +b3 + c3 = d3的四元组（a, b, c, d），因此先定义一个数组int cube[101];，且cube[i]的值赋i3，以便于后面直接引用。
从d出发进行穷举，则穷举范围为
6≤d≤100
1≤a≤d-3
a+1≤b≤d-2
b+1≤c≤d-1
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int i, a, b, c, d,cnt=0;
int cube[101];
for (i=1 ; i<=100; i++)
cube[i]=i*i*i;
for (d=6 ; d<=100; d++)
for (a=1; a<d-2; a++ )
{
if (cube[d] <cube[a]+cube[a+1]+cube[a+2]) break; // 没必要继续搜索b 和c
for (b=a+1 ; b<d-1; b++)
{
if (cube[d] <cube[a]+cube[b]+cube[b+1]) break; // 没必要继续搜索c
for (c=b+1; c<d; c++)
if (cube[d]==cube[a]+cube[b]+cube[c])
{
cnt++;
printf("(%3d,%3d,%3d,%3d) ",a,b,c,d);
if (cnt%5==0) printf(" ");
}
}
}
return 0;
}
15-2 分数拆分
问题描述
输入正整数k，找到所有的正整数x≥y，使得1/k=1/x+1/y。
输入格式
输入包含多组测试数据，每组为一行，一个正整数k。
输出格式
对每组数据先输出解的个数，然后输出全部的解，没个解占一行。具体格式参见输出样例。
输入样例
2
12
输出样例
2
1/2=1/6+1/3
1/2=1/4+1/4
8
1/12=1/156+1/13
1/12=1/84+1/14
1/12=1/60+1/15
1/12=1/48+1/16
1/12=1/36+1/18
1/12=1/30+1/20
1/12=1/28+1/21
1/12=1/24+1/24
（1）编程思路。
乍一看穷举的范围好像无法确定，但由于x≥y， 有1/x≤1/y，
因此由1/k=1/x+1/y 可知 1/y =1/k-1/x≥1/k-1/y， 故 2/y≥1/k 即y≤2k。当然y≥k+1。这样只要在k+1~2k范围之内穷举y，然后根据y尝试计算出x即可。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int k;
while (scanf("%d",&k)!=EOF)
{
int x,y,cnt=0;
for (y=k+1;y<=2*k;y++)
{
if(k*y%(y-k)==0)
{
cnt++;
}
}
printf("%d ",cnt);
for (y=k+1;y<=2*k;y++)
{
if(k*y%(y-k)==0)
{
x=k*y/(y-k);
printf("1/%d=1/%d+1/%d ",k,x,y);
}
}
}
return 0;
}
（3）源程序2。
在源程序1中，穷举的循环进行了两次，一次用循环求出解的个数，另一次用循环输出各个解的情况。显然，可以在用循环求解的个数时用数组将求得的解的情况保存下来，这样就不用再次循环求解，直接输出用数组保存的解的情况即可。
#include <stdio.h>
int main()
{
int k;
while (scanf("%d",&k)!=EOF)
{
int cnt=0;
int t;
int x[2*k],y[2*k];
for (t=k+1;t<=2*k;t++)
{
if(k*t%(t-k)==0)
{
x[cnt]=k*t/(t-k);
y[cnt]=t;
cnt++;
}
}
printf("%d ",cnt);
for (t=0;t<cnt;t++)
{
printf("1/%d=1/%d+1/%d ",k,x[t],y[t]);
}
}
return 0;
}
注意：在上面的源程序2中，x和y数组是定义的可变长数组，现在的C标准支持这样的用法。
15-3 一数三平方
问题描述
有一类六位数，不仅它本身是平方数，而且它的前三位与后三位也都是平方数，这类数称为“一数三平方数”。
输入格式
无输入
输出格式
输出所有的一数三平方数。每行输出一个一数三平方数，具体格式参见输出样例。
输入样例
无输入
输出样例
144400 : 12*12=144,20*20=400,380*380=144400
225625 : 15*15=225,25*25=625,475*475=225625
……
（1）编程思路。
如果程序对所有的六位数（100000~999999）进行穷举，判断这个六位数是否是一数三平方，显然比较麻烦。
由于一个“一数三平方”数，其前三位与后三位一定都是平方数，因此，可以先求出999以内的所有的平方数，最多只有32个（即0的平方~31的平方，32的平方1024超过了3位）。定义一个数组int a[32]来保存这32个平方数。
程序中对这32个平方数两两组成的六位数进行穷举判断，显然高三位必须为数组中a[10]（即不小于10的平方100的数首位才不为0）之后的平方数。算法描述为：
for(i=10;i<=31;i++)
for(j=0;j<=31;j++)
{
c=1000*a[i] +a[j]; // a[i]作为高三位、a[j]作为低三位构成六位数
if( c是平方数)
输出相应信息并计数
}
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
int a[32],i,j;
long b,c,t;
for(i=0;i<=31;i++) // 统计出从0到999之内的所有平方数
a[i]=i*i;
for(i=10;i<=31;i++)
{
b=1000*a[i]; /*高三位数*/
for(j=0;j<=31;j++)
{
c=b+a[j]; /*六位数*/
t=sqrt(c); /*六位数开方*/
if(c==t*t) /*判断六位数是否为平方数*/
{
printf("%d : %d*%d=%d,%d*%d=%d,%d*%d=%d ",c,i,i,a[i],j,j,a[j],t,t,c);
}
}
}
return 0;
}