[luogu]P3959 宝藏[NOIP][状态压缩DP]

[luogu]P3959

宝藏【TREASURE】

题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

L×K
L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

输入输出格式

输入格式：
第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m，代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号（编号为 1~n），和这条道路的长度 v。

输出格式：
输出共一行，一个正整数，表示最小的总代价。

输入输出样例
输入样例1#：
4 5
1 2 1
1 3 3
1 4 1
2 3 4
3 4 1
输出样例1#：
4

输入样例2#：
4 5
1 2 1
1 3 3
1 4 1
2 3 4
3 4 2
输出样例2#：
5

【样例解释1】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 1 o 21→2，挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 1 o 41→4，挖掘了 4 号宝藏。还开发了道路 4 o 34→3，挖掘了 3 号宝 藏。工程总代价为：1 imes 1 + 1 imes 1 + 1 imes 2 = 4 1×1+1×1+1×2=4
【样例解释2】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 1 o 21→2，挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 1 o 31→3，挖掘了 3 号宝藏。还开发了道路 1 o 41→4，挖掘了 4 号宝 藏。工程总代价为：1 imes 1 + 3 imes 1 + 1 imes 1 = 51×1+3×1+1×1=5
【数据规模与约定】

对于 20%的数据：保证输入是一棵树，1≤n≤8，v≤5000 且所有的 v 都相等。
对于 40%的数据：1≤n≤8，0≤m≤1000，v≤5000 且所有的 v 都相等。
对于 70%的数据：1≤n≤8，0≤m≤1000，v≤5000
对于 100%的数据：1≤n≤12，0≤m≤1000，v≤500000

---

数据很小，状压DP。
用f[i][s]表示s状态下，最深的为i的方案的最优解。
转移：f[i][s|t]=Min{f[i-1][s]+v*(i-1)}
v*i为转移代价，t为s的补集的子集(需要一些点作为下一层)。
注意点：
<i>枚举子集，for(t=U;t;t=U&(t-1)),在后面逐个删0，最前面1被删除后换下一个。[这个要自己体会啦，别人说不清楚]
<ii>预处理v的代价，枚举s，对于每一个s，把一个点加入s的最小代价预处理以提高效率。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read();
int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
namespace lys{
    const int inf = 1e9 + 7 ;
    int n,m,ans;
    int dp[13][1<<13],d[13],e[13][13];
    int main(){
        int i,j,S,U,t,u,v,w;
        n=read(); m=read();
        for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) e[i][j]=inf;
        for(i=0;i<=n;i++) for(j=0;j<(1<<n);j++) dp[i][j]=inf;
        for(i=0;i<n;i++) dp[1][1<<i]=0;
        for(i=1;i<=m;i++){
            u=read(); v=read(); w=read();
            e[u-1][v-1]=e[v-1][u-1]=Min(e[u-1][v-1],w);
        }
        for(S=0;S<(1<<n);S++){
            for(i=0;i<n;i++){
                d[i]=inf;
                for(j=0;j<n;j++) if((S>>j)&1) d[i]=Min(d[i],e[i][j]);
            }
            for(U=S^((1<<n)-1),t=U;t;t=U&(t-1)){
                v=0;
                for(i=0;i<n;i++) if((t>>i)&1){
                    v+=d[i];
                    if(v>=inf) break ;
                }
                if(v<inf) for(i=1;i<=n;i++) dp[i][S|t]=Min(dp[i][S|t],dp[i-1][S]+(i-1)*v);
            }
        }
        ans=inf;
        for(i=1;i<=n;i++) ans=Min(ans,dp[i][(1<<n)-1]);
        printf("%d
",ans);
        return 0;
    }
}
int main(){
    lys::main();
    return 0;
}
inline int read(){
    int kk=0,ff=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') ff=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') kk=kk*10+c-'0',c=getchar();
    return kk*ff;
}