【学习笔记】数论、数学—补充证明 (2)
( ext{结论:})
[sum_{i=1}^{n}mu^2(i)sqrt{frac{n}{i}}=n
]
( ext{证明:})
( ext{设} 1 ext{至} n ext{内所有不含平方因子的数集合为}{P})
( ext{则} 1 ext{至} n ext{内所有数都可以表示为} xy^2(xin{P},yleqslant sqrt{frac{n}{x}}) ext{的形式})
( ext{由莫比乌斯函数性质可得:})
( ext{原式左边}=sum_{iin{P}}sqrt{frac{n}{i}})
( ext{发现其恰好把}1 ext{至} n ext{内所有数取了个遍})
( ext{即:} ext{原式左边}=n)
( ext{证毕。})