牛客网猜数游戏

写在之前：刚开始写博客，可能会大量借鉴别人的思路，会在后面注明出处。希望写多了会有所突破~~

本题来源于IT校招全国统一模拟笔试（秋招三模）编程题

题目：

牛牛和羊羊在玩一个有趣的猜数游戏。在这个游戏中,牛牛玩家选择一个正整数,羊羊根据已给的提示猜这个数字。第i个提示是"Y"或者"N",表示牛牛选择的数是否是i的倍数。例如,如果提示是"YYNYY",它表示这个数使1,2,4,5的倍数,但不是3的倍数。注意到一些提示会出现错误。例如: 提示"NYYY"是错误的,因为所有的整数都是1的倍数,所以起始元素肯定不会是"N"。此外,例如"YNNY"的提示也是错误的,因为结果不可能是4的倍数但不是2的倍数。现在给出一个整数n,表示已给的提示的长度。请计算出长度为n的合法的提示的个数。例如 n = 5:合法的提示有:YNNNN YNNNY YNYNN YNYNY YYNNN YYNNYYYNYN YYNYY YYYNN YYYNY YYYYN YYYYY所以输出12

输入描述:
输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^6),表示已给提示的长度。
输出描述:
输出一个整数,表示合法的提示个数。因为答案可能会很大,所以输出对于1000000007的模
输入例子1:
5
输出例子1:
12

题意：

给定一个整数，表示字符串的长度。字符串包含只Y，N，第i个位置上（位置从1开始算起）为Y代表能被数字 i 整除，N代表不能。如果存在满足每个字符上的条件的数字，则称这个字符串是合法的。求合法字符串的个数。

分析：

首先了解以下概念，来源于百度百科

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

例子

1没有质因子。

5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）

6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)

2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 =2²，8 = 2³，如此类推。）

10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)

除1以外，每个位置上的数有以下几种情况：

1、如果质因子超过一个，则该位置上的字符是被唯一确定的。（这种情况下的数字都可以由几个素数或素数的K次幂而得）

例如数字6：如果2,3为NY、YN、NN，则位置6上的字符为N；如果2,3为YY，则位置6上的字符为Y

例如数字12：如果3,4为NY、YN、NN，则位置12上的字符为N，如果3,4为YY，则位置12上的字符为Y

2、只包含一个质因数的数字。可以按质因子分类，因为包含不同质因子的数不会相互影响，这样可以使用乘法原理计数。因为其它数字都可以由范围内的素数及其K次幂的位置的情况这些组合而来，所以我们只需要考虑范围内的素数及其K次幂的位置的情况。

例如：n = 64 考虑2的次幂：

如果64是Y,那么32 16 8 4 2都要是Y;

　　　　　　如果64是N,32是Y,16 8 4 2都要是Y;

　　　　　　　如果64 32是N，16是Y，8 4 2都要是Y;

　　　　　　　...

　　　　　　　依次类推一共有7种情况(因为64 = 2^6，所以每个素数的情况数为指数加1)

即：对于只包含一个质因子的数p（对于2来说，就是2,4,8,16,32,64）在n（即题目中给的字符串长度）范围内的p的幂次加1即为它的变化的情况数。

将每个质数的情况数相乘即得合法字符串的个数。

代码：

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class GuessNumber {
 4 
 5     final static int MOD = (int) 1e9+7; //1e6代表10的6次方,e和E都可以
 6 
 7     public static void main(String[] args) {
 8 
 9         Scanner sc = new Scanner(System.in);
10         int n = sc.nextInt();
11 
12         long ans = 1; //此处不能声明为int，因为如果为int的话，计算ans*(count+1)是按照int类型来运算的，此时溢出的话，结果已经出错，除非在计算时将数字强行转化为long,之后再转换为int。
13         boolean[] visited = new boolean[n+1];
14         for (int i=2; i<=n; i++){
15             int count = 0;
16             if (visited[i])
17                 continue;
18             for (int j=i+i; j<=n; j+=i){
19                 visited[j] = true;
20             }
21             long temp = i; //此处不能声明为int，后面有temp*i可能会溢出
22             while (temp<=n){
23                 count++;
24                 temp = temp*i;
25             }
26 
27             ans = ans*(count+1)%MOD;
28         }
29         System.out.println(ans);
30     }
31 }

注意：

java中所有数字都是带符号的，没有unsigned。

int在java中是固定的32bits，表示的范围为-2^31到2^31-1（补码的表示范围），即为-2147483648到2147483647

关于溢出：

1 long microsPerDay = 24 * 60 * 60 * 1000 * 1000;// 正确结果应为：86400000000
2  System.out.println(microsPerDay);// 实际上为：500654080
3  // 问题在于计算过程中溢出了。这个计算式完全是以int运算来执行的，并且只有在运算完成之后，其结果才被提升为long，而此时已经太迟：计算已经溢出。 
4  // 解决方法使计算表达式的第一个因子明确为long型，这样可以强制表达式中所有的后续计算都用long运算来完成，这样结果就不会溢出：

参考：

http://www.jianshu.com/p/aa813b40f7ae

https://www.nowcoder.com/discuss/30055?type=0&order=0&pos=21&page=3

http://blog.csdn.net/define_danmu_primer/article/details/76162519

http://www.cnblogs.com/-lpf/p/5996682.html

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