定义2.4.1 (多值函数的连续分支) (Omega)区域, (mathbb{F}(z))为(Omega)上的多值函数, 若(f(z))在(Omega)上连续, 且对于任意的(zinOmega), (f(z)inmathbb{F}(z)), 则称(f(z))为(mathbb{F}(z))在区域(Omega)上的连续分支.
定义2.4.2 (多值函数的解析分支) (Omega)区域, (mathbb{F}(z))为(Omega)上的多值函数, 若(f(z))在(Omega)上解析, 且对于任意的(zinOmega), (f(z)inmathbb{F}(z)), 则称(f(z))为(mathbb{F}(z))在区域(Omega)上的解析分支.
例2.4.3 指数函数的性质
(1) (forall z=x+i yinmathbb{C}, e^z=e^x(cos y+isin y).)
(2) (z=xinmathbb{R}), (e^z)与通常实指数函数的定义一致.
(3) (|e^z|=e^x>0.)
(4) (e^z)在(z)平面上解析, 且((e^z)'=e^z.)
(5) (e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}.)
(6) (e^z)以(2ipi)为基本周期.
定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若(z eq 0,infty,)满足(z=e^w)的复数(w)称为(z)的对数值, (z)的一切对数值的集合称为(z)的对数, 记作(Ln z).
具体地, (Ln z={ln|z|+iarg z+i2kpi, kinmathbb{Z}}.)
若把(ln|z|+iarg z)称为主值, 记作(ln z), 则(Ln z={ln z+i2kpi, kinmathbb{Z}}.)
注:若把(z)看作非零复数, (Ln z)的定义域为(mathbb{C}-{0}.)
[Ln(z_{1}z_{2})=Ln z_1+Ln z_2, Ln(frac{z_1}{z_2})=Ln z_1-Ln z_2.
]
定理2.4.5 (解析函数的对数解析分支) (Omega)单连通区域, (f(z))在(Omega)中解析且处处非零, 则(Ln f(z))在(Omega)上有解析分支(g(z)), 满足(e^{g(z)}=f(z),) 且(Ln f(z))在(Omega)上的所有解析分支一定是(g(z)+2ikpi, kinmathbb{Z},) 即 (Ln f(z)={g(z)+i2kpi, kinmathbb{Z}}.) 从而(Ln f(z))在(Omega)上有无穷多个解析分支, 且任意两个解析分支相差(2pi)的整数倍.
注：(1)定理2.4.5 表明, 若(Ln f(z))在单连通区域(Omega)上的任意两个解析分支在(z_0inOmega)上的值相等, 则这两个解析分支恒相等.
(2) 为方便, (Ln f(z))在(Omega)上的解析分支(g(z))有时简记为(ln f(z)), 若强调是特定的一支, 要给定(z_0inOmega), 确定出(ln f(z))在(z_0)的值.
例2.4.6 (对数函数的解析分支) (Omega)单连通区域, (z_0 otinOmega,) 则(Ln(z-z_0))在(Omega)上有解析分支(ln_{Omega}(z-z_0)), 满足(e^{ln_{Omega}(z-z_0)}=z-z_0), 且(Ln(z-z_0))在(Omega)上所有的解析分支一定是(ln_{Omega}(z-z_0)+2kpi i, kinmathbb{Z}.)
证明：令(f(z)=z-z_0), 则(f(z))在(Omega)上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成立.
例2.4.7 (多值辐角函数的连续分支) (Omega)单连通区域, (z_0 otinOmega), 则(Arg(z-z_0))在(Omega)内有连续分支(arg_{Omega}(z-z_0)), 在(Omega)上, 对(x,y)有各阶偏导数, 且(Arg(z-z_0)={arg_{Omega}(z-z_0)+2kpi, kinmathbb{z}}.) 从而(Arg(z-z_0))在(Omega)中有无穷多连续分支, 任意两个相差(2pi)的整数倍.
注：(arg(z-z_0))不解析.
注：设(Gamma: z=gamma(t), tin[a,b])是一条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若(0 otinGamma), 即(gamma(t))在([a,b])上不取零值, 则存在( ho(t)=|gamma(t)|, heta(t), tin[a,b],) 分段光滑实函数, 使得(gamma(t)= ho(t)e^{i heta(t)}).