「高等数学学习笔记 DAY8」

函数的极限

函数极限的定义

自变量趋近于有限值时函数的极限

定义1

(接上)

我们指出,定义中 (0<|x-x_0|) 表示 (x ot=x_0),所以 (x o x_0) 时 (f(x)) 有没有极限,与 (f(x)) 在点 (x_0) 是否有定义无关.

定义1可以简单地表述为 (lim_{x o x_0}f(x)=ALeftrightarrowforall varepsilon>0,exists delta>0),当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有 (|f(x)-A|<varepsilon).

函数 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限为 (A) 的集合解释可以自行百度,这里不展开.

自变量趋近于无穷大时函数的极限

如果在 (x o infty) 的过程中,对应的函数值 (f(x)) 无限接近于确定的数值 (A),那么 (A) 就叫做函数 (f(x)) 当 (x oinfty) 时的极限.

定义2

设函数 (f(x)) 当 (|x|) 大于某一正数时有定义.如果存在常数 (A),对于任意给定的正数 (varepsilon)(不论它多么小),总存在着正数 (X),使得当 (x) 满足不等式 (|x|>X) 时,对应的函数值 (f(x)) 都满足不等式$$|f(x)-A|<varepsilon,$$那么常数 (A) 就叫做函数 (f(x)) 当 (x o infty) 时的极限,记作 (lim_{x oinfty}f(x)=A) 或 (f(x) o A)(当 (x o infty)).

可以简单表述为 (lim_{x oinfty}f(x)=ALeftrightarrowforall varepsilon>0,exists X>0),当 (|x|>X) 时,有 (|f(x)-A|<varepsilon).

如果 (x>0) 且无限增大(记作 (x o+infty)),那么只要把上面定义中的 (|x|>X) 改成 (x>X),就可以得到 (lim_{x o+infty}f(x)=A) 的定义.同理也可以得到 (x<0) 且 (|x|) 无限增大时的定义.