卡特兰(Catalan)数入门详解

基本概念

介绍

学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里，我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律

对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量

为了区分组合数，这里用(f_n)表示卡特兰数的第(n)项
从零开始，卡特兰数的前几项为(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790ldots)

定义

递归定义

(f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+ldots+f_{n-1}f_{0})，其中(ngeq 2)

递推关系

(f_n=frac{4n-2}{n+1}f_{n-1})

通项公式

(f_n=frac{1}{n+1}C_{2n}^{n})

经化简后可得

(f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列

实际问题

先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是

例题1

在一个(w imes h)的网格上，你最开始在(left(0,0 ight))上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(left(n,m ight),0leq n)有多少种不同的合法路径。

合法路径个数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

直接求不好，考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在(2n)次移动中选(n)次向上移动，即(C_{2n}^{n})

画一下图，我们把(y=x+1)这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为(left(a,a+1 ight))
如图

我们把(left(a,a+1 ight))之后的路径全部按照(y=x+1)这条线对称过去
这样，最后的终点就会变成(left(n-1,n+1 ight))

由于所有的不合法路径一定会与(y=x+1)有这么一个交点
我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到(left(n-1,n+1 ight))的路径
且所有到(left(n-1,n+1 ight))的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可）
所以不合法路径总数是(C_{2n}^{n-1})

那么合法的路径总数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决
即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径
如网格计数

方法

先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的

01序列

你现在有(n)个(0)和(n)个(1)，问有多少个长度为(2n)的序列，使得序列的任意一个前缀中(1)的个数都大于等于(0)的个数
例如(n=2)时
有(1100,1010)两种合法序列
而(1001,0101,0110,0011)都是不合法的序列

合法的序列个数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

我们把出现一个(1)看做向右走一格，出现一个(1)看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题(1)一模一样了

拓展
如果是(n)个(1,m)个(0)呢？
不过是最后的终点变为了(left(n,m ight))罢了
如果是(1)的个数不能够比(m)少(k)呢
我们只需将(y=x+1)这条线上下移动即可

括号匹配

你有(n)个左括号，(n)个右括号，问有多少个长度为(2n)的括号序列使得所有的括号都是合法的

合法的序列个数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

要使所有的括号合法，实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量
将左括号看做(1)，右括号看做(0)，这题又和上面那题一模一样了

进出栈问题

有一个栈，我们有(2n)次操作，(n)次进栈，(n)次出栈，问有多少中合法的进出栈序列

合法的序列个数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

要使序列合法，在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数(ldots)
后面就不用我说了吧，和上面的问题又是一模一样的了

312排列

一个长度为(n)的排列(a)，只要满足(i<j<k)且(a_j<a_k<a_i)就称这个排列为(312)排列
求(n)的全排列中不是(312)排列的排列个数

答案也是卡特兰数

我们考虑(312)排列有什么样的特征
如果考虑一个排列能否被(1,2,3,ldots,n-1,n)排列用进栈出栈来表示
那么(312)排列就是所有不能被表示出来的排列
那么这个问题就被转化成进出栈问题了

不相交弦问题

在一个圆周上分布着 (2n)个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的(2n)条弦彼此不相交的配对方案数
当(n=4)时，一种合法的配对方案为如图

合法的序列个数为(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1})

这个问题没有上面的问题那么显然，我们规定一个点为初始点，然后规定一个方向为正方向
如规定最上面那个点为初始点，逆时针方向为正方向
然后我们把一个匹配第一次遇到的点（称为起点）旁边写一个左括号(()，一个匹配第二次遇到的点（称为终点）旁边写一个右括号())
如图

看出来吗，在规定了这样的一个顺序后，在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数
于是这又是一个卡特兰数列了

二叉树的构成问题

有(n)个点，问用这(n)个点最终能构成多少二叉树

答案仍然是卡特兰数列

这个问题不是用上面的方法，是用递归定义的卡特兰数

一个二叉树分为根节点，左子树，右子树
其中左子树和右子树也是二叉树，左右子树节点个数加起来等于(n-1)
设(i)个点能构成(f_i)个二叉树
我们枚举左子树有几个点可得
(f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+ldots+f_{n-1}*f_{0})
这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的