(Q):什么是(GCD)?
- (GCD)
(GCD)，即最大公约数（(Greatest Common Divisor)）
对于两个自然数(a,b)，定义(GCD(a,b))为(a,b)所有公共约数中最大的一个，即(GCD(a,b)=max{xin N^*,x|a)且(x|b})
然后是关于(GCD)的算法即其扩展
(Part1) 欧几里得算法
(Q):这个算法有什么用？
此算法可以在(log)级别里求出两个数(a,b)的(GCD)
- 欧几里得算法
对于(a,b)，设它们的(GCD)为(d)。
则有：(d|a)且(d|b)
设(a=k*{}b+r(k=leftlfloorfrac{a}{b} ight floor,r=amod b))
则：(d|(a-k*{}b))，即(d|r)
所以(GCD(a,b)=GCD(b,r)=GCD(b,amod b))
最后递归求解，可在(O(log_2a))内得解。
时间复杂度 (O(log_2a))
空间复杂度 (O(log_2a))(递归栈)
实际复杂度一般到不了此上界。
代码：
//求GCD(a,b)
#include <cstdio>
int GCD(int a,int b)
{
return b?GCD(b,a%b):a;
//当b为0时，GCD(a,0)=a，充当递归边界。
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d
",GCD(a,b));
return 0;
}
(Part2) 扩展欧几里得
(Q):这个奇怪的算法又是什么啊？
首先，先来看一个不定方程：
扩展欧几里得就是用来求此方程的不定解((x,y))的。
准备知识：
- (Bezout)定理
对于两个整数(a,b)存在一对整数(x,y)，满足(ax+by=GCD(a,b))
证明：
在调用欧几里得算法时，当(b=0)，显然有(x=1,y=0)满足定理。
当(b ot= 0)时，若已经求得，(x,y)，使得
则
设(x'=y,y'=x-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y)，则有
利用数学归纳法，知道(Bezout)成立。
同时，我们可以利用此定理求出一组(ax+by=GCD(a,b))的解。
时间复杂度 (O(log_2a))
空间复杂度 (O(log_2a))
代码：
//求x,y使得ax+by=GCD(a,b)，同时得到GCD(a,b)
#include <cstdio>
int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
int Tmp=x;
x=y,y=Tmp-a/b*y;
return GCD;
}
int main()
{
int a,b,GCD,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
GCD=ExGCD(a,b,x,y);
printf("%d %d %d
",GCD,x,y);
return 0;
}
接着回到正题：对于方程(ax+by=c)，它有解仅当(GCD(a,b)|c)。
证明？不会，记住就行，毕竟显然。
接着，求出方程(ax+by=GCD(a,b))的一组解，则：
于是就有了一组解：(x'=frac{cx}{GCD(a,b)},y'=frac{cy}{GCD(a,b)})(对(x,y)同时乘上(frac{c}{GCD(a,b)}))
于是问题得解。
时间复杂度 (O(log_2a))
空间复杂度 (O(log_2a))
代码：
//求x,y使得ax+by=c，同时得到GCD(a,b)
#include <cstdio>
int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
int Tmp=x;
x=y;
y=Tmp-a/b*y;
return GCD;
}
int main()
{
int a,b,c,GCD,x,y;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
GCD=ExGCD(a,b,x,y);
if(c%GCD)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//无解
int d=c/GCD;
printf("%d %d %d
",GCD,x*d,y*d);
return 0;
}
关于通解以及(x)最小正整数解。
设(d=GCD(a,b))，
(x_0,y_0)为(ax+by=GCD(a,b))的一组特解，
(x=x_0+km,y=y_0+kn(kin mathbb{Z}))为方程的通解表示（k为任意整数），
则：
显然，当(m=-b,n=a)时等式成立。
又因为要把(m,n)比例降到最小，所以同时除去(GCD)。
最后的通解表示为：
同理，对于方程(ax+by=c)的通解为：
所以求(x)的最小整数解只需要将(xmod frac{b}{d})再推出(y)即可。
时间复杂度 (O(log_2a))
空间复杂度 (O(log_2a))
代码：
//求ax+by=c的x最小正整数解。
#include <cstdio>
int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
int Tmp=x;
x=y;
y=Tmp-a/b*y;
return GCD;
}
int main()
{
int a,b,c,d,x,y;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
d=ExGCD(a,b,x,y);
if(c%d)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//无解
x*=c/d,y*=c/d;
int f=b/d;
x=(x%f+f)%f;
y=(c-a*x)/b;
printf("%d %d
",x,y);//x最小正整数解。
return 0;
}
所有性质证明到此结束。
欧几里得是个好东西，然而我不会用。
数论博大精深，不能就此止步，还要继续探索。
祝自己(++OI::RP)