什么是质数

数学家们希望用乘法表示所有的正整数

这时候，他们发现，有一些数字（假定为 (p) ），它们只能用 (1 imes p) 的形式表示（不考虑负因数），其它不能写成任何别的形式

对于这种数字，他们称呼为质数，或称呼为素数

而换句话说，它们只能分解为 (1) 乘上它本身；也就是说，它的因数只有 (1) 与它本身

这就是质数最重要的性质，也是它的定义

而对于其它的数字，我们称呼为合数

合数的一些性质我们将会在后面的贴子中提到

质数的判法

对于一个数字 (n) 我们如何判定它是不是质数呢？

根据定义，我们很容易想到：枚举数字，查询是否只有 (1) 与 (n) 是它的因数

而如果数字 (m) 是数字 (n) 的因数，很显然，存在数字 (k) 使得 (k imes m=n)

反过来，我们可以写作 (ndiv m=kcdots0)

也就是说，如果 (m) 是数字 (n) 的因数， (n) 除以 (m) 的因数一定为 (0)

既然质数的因数只有 (1) 与它本身，那么其他数字除完的因数就一定不能为 (0)

根据数字的因数一定小于等于它本身，我们很快就可以写出程序（以 C++ 为例）

bool isprime=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    if(n%i==0&&i!=1&&i!=n){
        isprime=0;
    }
}

当然，其实我们这样做的话，直接遍历的范围改成 (2)~((n-1)) 就行了

bool isprime=1;
for(int i=2;i<=n-1;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

这样一来，时间复杂度是 (O(n))

时间复杂度能更快吗？

可以的

我们现在的思路是：枚举数字，查看 (n) 是否是合数

但我们想想，如果 (n) 是合数，那么它一定能写成 (n=m imes k(m,k eq 1,n)) 的形式

我们直接假定 (mleq k)

那么，显然 (mleq sqrt{n})

这一步的证明我们可以用反证法：

若 (m>sqrt{n}) ，则 (k imes mgeq m imes m=m^2>(sqrt{n})^2=n) 就不是 (n) 了

所以 (mleq sqrt{n})

我们可以利用这个来优化我们的代码：我们修改上界，搜到 (sqrt n) 即可

bool isprime=1;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

当然，能不用 sqrt 函数我们尽量就不要用，毕竟它还需要支持实数的运算，跑得并不快

我们用 i*i<=n 来代替 i<=sqrt(n) 可以降低常数

bool isprime=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
    }
}

复杂度 (O(sqrt n))

当然，想优化常数还能再优化：判定完不是质数就可以直接退出了

bool isprime=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        isprime=0;
        break;
    }
}

或者我们搞成内联函数的形式：

inline bool isprime(int n){
    for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}

这样就完成了