Softmax回归

简介

在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 $extstyle y$ 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 $extstyle m$ 个已标记的样本构成： ${ (x^{(1)}, y^{(1)}), ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$ ，其中输入特征 $x^{(i)} in Re^{n+1}$ 。（我们对符号的约定如下：特征向量 $extstyle x$ 的维度为 $extstyle n+1$ ，其中 $extstyle x_0 = 1$ 对应截距项。）由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} in {0,1}$ 。假设函数(hypothesis function) 如下：

$egin{align} h_ heta(x) = frac{1}{1+exp(- heta^Tx)}, end{align}$

我们将训练模型参数 $extstyle heta$ ，使其能够最小化代价函数：

$egin{align} J( heta) = -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)})) ight] end{align}$

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $extstyle y$ 可以取 $extstyle k$ 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ${ (x^{(1)}, y^{(1)}), ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$ ，我们有 $y^{(i)} in {1, 2, ldots, k}$ 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 $extstyle k=10$ 个不同的类别。

对于给定的测试输入 $extstyle x$ ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 $extstyle p(y=j | x)$ 。也就是说，我们想估计 $extstyle x$ 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 $extstyle k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $extstyle k$ 个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数 $extstyle h_{ heta}(x)$ 形式如下：

$egin{align} h_ heta(x^{(i)}) = egin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; heta) \ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; heta) \ vdots \ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; heta) end{bmatrix} = frac{1}{ sum_{j=1}^{k}{e^{ heta_j^T x^{(i)} }} } egin{bmatrix} e^{ heta_1^T x^{(i)} } \ e^{ heta_2^T x^{(i)} } \ vdots \ e^{ heta_k^T x^{(i)} } \ end{bmatrix} end{align}$

其中 $heta_1, heta_2, ldots, heta_k in Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $frac{1}{ sum_{j=1}^{k}{e^{ heta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 $extstyle heta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $extstyle heta$ 用一个 $extstyle k imes(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $heta_1, heta_2, ldots, heta_k$ 按行罗列起来得到的，如下所示：

$heta = egin{bmatrix} mbox{---} heta_1^T mbox{---} \ mbox{---} heta_2^T mbox{---} \ vdots \ mbox{---} heta_k^T mbox{---} \ end{bmatrix}$

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， $extstyle 1{cdot}$ 是示性函数，其取值规则为：

$extstyle 1{$

 值为真的表达式

$extstyle }=1$

， $extstyle 1{$ 值为假的表达式 $extstyle }=0$ 。举例来说，表达式 $extstyle 1{2+2=4}$ 的值为1 ， $extstyle 1{1+1=5}$ 的值为 0。我们的代价函数为：

$egin{align} J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }} ight] end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

$egin{align} J( heta) &= -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)})) + y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) ight] \ &= - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=0}^{1} 1left{y^{(i)} = j ight} log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta) ight] end{align}$

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 $extstyle k$ 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 $extstyle x$ 分类为类别 $extstyle j$ 的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta) = frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $extstyle J( heta)$ 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

$egin{align} abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} left( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta) ight) ight] } end{align}$

让我们来回顾一下符号 " $extstyle abla_{ heta_j}$ " 的含义。 $extstyle abla_{ heta_j} J( heta)$ 本身是一个向量，它的第 $extstyle l$ 个元素 $extstyle frac{partial J( heta)}{partial heta_{jl}}$ 是 $extstyle J( heta)$ 对 $extstyle heta_j$ 的第 $extstyle l$ 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $extstyle J( heta)$ 。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $extstyle heta_j := heta_j - alpha abla_{ heta_j} J( heta)$ ( $extstyle j=1,ldots,k$ ）。

当实现 softmax 回归算法时，我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 $extstyle heta_j$ 中减去了向量 $extstyle psi$ ，这时，每一个 $extstyle heta_j$ 都变成了 $extstyle heta_j - psi$ ( $extstyle j=1, ldots, k$ )。此时假设函数变成了以下的式子：

$egin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta) &= frac{e^{( heta_j-psi)^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ ( heta_l-psi)^T x^{(i)}}} \ &= frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}} e^{-psi^Tx^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)}} e^{-psi^Tx^{(i)}}} \ &= frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)}}}. end{align}$

换句话说，从 $extstyle heta_j$ 中减去 $extstyle psi$ 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $extstyle h_ heta$ 。

进一步而言，如果参数 $extstyle ( heta_1, heta_2,ldots, heta_k)$ 是代价函数 $extstyle J( heta)$ 的极小值点，那么 $extstyle ( heta_1 - psi, heta_2 - psi,ldots, heta_k - psi)$ 同样也是它的极小值点，其中 $extstyle psi$ 可以为任意向量。因此使 $extstyle J( heta)$ 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 $extstyle J( heta)$ 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $extstyle psi = heta_1$ 时，我们总是可以将 $extstyle heta_1$ 替换为 $extstyle heta_1 - psi = vec{0}$ （即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $extstyle heta_1$ （或者其他 $extstyle heta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $extstyle k imes(n+1)$ 个参数 $extstyle ( heta_1, heta_2,ldots, heta_k)$ （其中 $extstyle heta_j in Re^{n+1}$ ），我们可以令 $extstyle heta_1 = vec{0}$ ，只优化剩余的 $extstyle (k-1) imes(n+1)$ 个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 $extstyle ( heta_1, heta_2,ldots, heta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项 $extstyle frac{lambda}{2} sum_{i=1}^k sum_{j=0}^{n} heta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

$egin{align} J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }} ight] + frac{lambda}{2} sum_{i=1}^k sum_{j=0}^n heta_{ij}^2 end{align}$

有了这个权重衰减项以后 ( $extstyle lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为 $extstyle J( heta)$ 是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 $extstyle J( heta)$ 的导数，如下：

$egin{align} abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} ( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta) ) ight] } + lambda heta_j end{align}$

通过最小化 $extstyle J( heta)$ ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $extstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $extstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

$egin{align} h_ heta(x) &= frac{1}{ e^{ heta_1^Tx} + e^{ heta_2^T x^{(i)} } } egin{bmatrix} e^{ heta_1^T x } \ e^{ heta_2^T x } end{bmatrix} end{align}$

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 $extstyle psi = heta_1$ ，并且从两个参数向量中都减去向量 $extstyle heta_1$ ，得到:

$egin{align} h(x) &= frac{1}{ e^{vec{0}^Tx} + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } egin{bmatrix} e^{ vec{0}^T x } \ e^{ ( heta_2- heta_1)^T x } end{bmatrix} \ &= egin{bmatrix} frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ frac{e^{ ( heta_2- heta_1)^T x }}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } end{bmatrix} \ &= egin{bmatrix} frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ 1 - frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ end{bmatrix} end{align}$

因此，用 $extstyle heta'$ 来表示 $extstyle heta_2- heta_1$ ，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $extstyle frac{1}{ 1 + e^{ ( heta')^T x^{(i)} } }$ ，另一个类别概率的为 $extstyle 1 - frac{1}{ 1 + e^{ ( heta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 $k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）$

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

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