题解：CF1473 E. Minimum Path

Translation

有一条路径上共有 (k) 条边，第 (i) 条边边权为 (w_i) ，定义该路径权值为 (sumlimits_{i=1}^{k}{w_i} - maxlimits_{i=1}^{k}{w_i} + minlimits_{i=1}^{k}{w_i}) ，给一张 (n) 条边， (m) 条边的无向连通图，求从 (1) 号点到 (i(2leq i leq n)) 号点路径权值的最小值。

Solution

容易发现对于一条路径而言，该式子的含义就是将最大的一条边权改成 0 ，将最小的一条边权翻成两倍。

再进一步思考，若是把式子改为 (sumlimits_{i=1}^{k}{w_i} - w_p + w_q) ，其中 (p) , (q) 是任意两条边，那么要求的答案就是改完后的式子的最小值。

发现有两步特殊操作，一步是将一个边权减一，另一步是将一个边权翻倍。

可以使用分层图跑最短路解决。

发现两步操作没有先后顺序，所以要开 4 层图，第 1 层放原图，第 2 层放已经有被清零的边权的图，第 3 层放已经有翻倍边权的图，最后一层就是答案。

对于一个点 (p) ，约定在第 (i) 层的序号表示为 (p+(i-1) imes n)

具体连边操作(对于一条 (u longrightarrow v) ，权值为 (w) 的原图边)：

(u longrightarrow v) 边权为 (w)

(u longrightarrow v+n) 边权为 (0)

(u longrightarrow v+n imes 2) 边权为 (w imes 2)

(u longrightarrow v+n imes 3) 边权为 (w) (路径上边数为 1 的特殊情况)

(u+n longrightarrow v+n) 边权为 (w)

(u+n longrightarrow v+n imes 3) 边权为 (w imes 2)

(u+n imes 2 longrightarrow v imes 2) 边权为 (w)

(u+n imes 2 longrightarrow v imes 3) 边权为 (0)

(u+n imes 3 longrightarrow v imes 3) 边权为 (w)

Code(C++):

// E. Minimum Path
#include<bits/stdc++.h>
#define forn(i,s,t) for(register int i=(s);i<=(t);++i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 8e5+3, M = 1e7+3;
struct List{int dir, nxt; LL lng;} E[M];
int G[N];
inline void Add(int u, int v, LL w) {
	static int cnt;
	E[++cnt] = (List){v, G[u], w}; G[u] = cnt;
}
int n, m; LL dis[N];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	forn(i,1,m) {
		static int u, v; static LL w;
		scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
		Add(u, v, w), Add(v, u, w);
		Add(u, v+n, 0), Add(v, u+n, 0);
		Add(u, v+n*2, w<<1), Add(v, u+n*2, w<<1);
		Add(u, v+n*3, w), Add(v, u+n*3, w);
		Add(u+n, v+n, w), Add(v+n, u+n, w);
		Add(u+n, v+n*3, w<<1), Add(v+n, u+n*3, w<<1);
		Add(u+2*n, v+2*n, w), Add(v+2*n, u+2*n, w);
		Add(u+2*n, v+3*n, 0), Add(v+2*n, u+3*n, 0);
		Add(u+3*n, v+3*n, w), Add(v+3*n, u+3*n, w);
	}
	memset(dis, -1, sizeof dis);
	static priority_queue<pair<LL, int> > q;
	q.push(make_pair(0ll, 1));
	while(!q.empty()) {
		static int u;
		u = q.top().second;
		if(dis[u] != -1) {q.pop(); continue ;}
		dis[u] = - q.top().first; q.pop();
		for(int i=G[u];i;i=E[i].nxt) 
			if(dis[E[i].dir] == -1) 
				q.push(make_pair(-dis[u]-E[i].lng, E[i].dir));
	}
	forn(i,2,n) printf("%lld ", dis[i + 3*n]);
	return 0;
}

Edu Round 的质量很高，但是不会网络流和 FFT ，这场的 F 、 G 只能以后再补了。。。