第一章 随机事件与概率
1.4 概率的性质及有关概率的连续性
一 概率的性质
由概率的公理化定义（非负性，正则性和可列可加性）可以导出概率的一系列性质：
性质1 $P(emptyset)=0$；
性质2 有限可加性，若有限个事件$A_1,A_2,cdots,A_n$互不相容，则有$$P(igcuplimits_{i=1}^{n} A_i)=sum limits_{i=1}^{n} P(A_i)$$
性质3 对任一事件$A$，有$P(overline A)=1-P(A)$；
性质4 若$Asupset B$，则$P(A-B)=P(A)-P(B)$；
性质5 对任意两个事件$A$，$B$，有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$；
性质6 加法公式：对任意两个事件$A$，$B$，有：$$P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$
二 概率的连续性
定义1 对$mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列$F_1subset F_2subset cdots subset F_n subset cdots$，称可列并$igcuplimits_{i=1}^{+infty} F_i $为${F_i}$的极限事件。并记为：$$lim_{n o +infty} F_n=igcuplimits_{n=1}^{+infty} F_n$$
定义2 对$mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列$E_1supset E_2supset cdots supset E_n supset cdots$，称可列交$igcaplimits_{i=1}^{+infty} E_i $为${F_i}$的极限事件。并记为：$$lim_{n o +infty} E_n=igcaplimits_{n=1}^{+infty} E_n$$
定义3 对$mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列${F_n}$均成立$$lim_{n o +infty} P(F_n)=P(lim_{n o +infty} F_n)$$
则称概率$P$是下连续的。定义4 对$mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列${E_n}$均成立$$lim_{n o +infty} P(E_n)=P(lim_{n o +infty} E_n)$$
则称概率$P$是上连续的。定理1 （概率的连续性）设${A_n}$是一个单调递减的事件列，则$$P(igcaplimits_{i=1}^{infty} A_i)=lim_{n o infty} P(A_n)$$
证明：设$A_1=emptyset,~ c_n=overline {A_n}-overline {A_{n-1}},~ n=1,2,cdots$
则$c_ncap c_m =emptyset,~ n e m$且$igcuplimits_{i=1}^{infty}{overline {A_i}}=igcuplimits_{i=1}^{infty}{c_i}$，于是有：
$$P(igcaplimits_{i=1}^{infty} A_i) =1-P(igcuplimits_{i=1}^{infty} overline A_i) =1-P(igcuplimits_{i=1}^{infty}{c_i})=1-sumlimits_{i=1}^{infty}{P(c_i)}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{P(c_i)}$$
$$=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{P(overline {A_i}-overline {A_{i-1}})}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[P(overline {A_i})-P(overline {A_{i-1}})]}$$
$$=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[P(overline {A_i})-P(overline {A_{0}})]}=1-lim_{n o infty}sumlimits_{i=1}^{n}{[1-P({A_i})]}$$
$$=lim_{n o infty} P(A_n)qquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquad$$定理2 （概率的下连续性）设${A_i}$是一个单调递增的事件列，则$$P(igcuplimits_{i=1}^{infty} A_i)=lim_{n o infty} P(A_n)$$
证明：略
定理3 设$P$是定义在$F$上的一个非负的，规范性的集函数，则$P$可列可加的充要条件是$P$是有限可加的且是下连续的。
证明：略