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多元函数吧,本质上也是函数。要研究的特性还是那三种！
1连续
2可导
3可积
但是多元函数的
1平面点集 (定义域)
其实就是多元函数的定义域,知道怎么表示就好啦！
E={ (x,y) | （x,y)具有某种性质}
C={(x,y) | x2+y2 < r2 }表示半径为 r 的圆不包括
邻域
领域说得好听 其实就是个没有边界的圆。一个点(x,y)的邻域就是以它为中心的圆。
但是这个圆是变化的 半径是不确定的。只知道是一个正数 e。去心邻域就是这个圆去掉(x,y)圆心!
而关于内点 外点 边界点 聚点也好说！就是有一个区域E 和一个点P 和该点的邻域U(p,e)!
1 内点就是 U(P,e)全在E里
2 外点就是 U(P,e)都在E外
3 边界点是 U(p,e)有一部分在E里一部分在E外
4 聚点就是 去心U(p,e) e任意 U(p,e)总是有一部分在E里一部分不在!
还有关于开集 闭集 联通集 区域 闭区域 有界集 无界集先不说了！太杂乱了
而多元函数也没有什么好说的，和一元的也没有什么区别就是定义域多了 ！
稍微提一下二元函数的值就像一张曲面！
接下来说一点激动人心的东西-多元函数的极限(二重极限):
其实就是 总是存在一个正数E
E 是P(x,y)到P0(x0,y0)的距离 使得 | f(x,y)-A |<e
(ps:这里的e是任意的正数 E^2 可以写成 (x-x0)^2+(y-y0)^2 )
例子：
证明 f(x,y)=(x2+y2）sin(1/x2+y2) 求证 lim(x,y)->(0,0) f(x,y)=0
要想证明 lim(x,y)->(0,0) f(x,y)=0 成立。就得证明 |f(x,y）- 0|<e 其中e是任意的
而这个|f(x,y）- 0|<e 又可以化成 | (x2+y2）sin(1/x2+y2)-0|<e
而我们的初始条件是 p(x,y) 属于 D交上取心U( (0,0), E) E是总是存在的正数。
即 √(x2+y2）<E 令E=√e
又因为 | (x2+y2）sin(1/x2+y2)-0|< (x2+y2）< E2=e
就证明成功了！
还有连续性：
当lim(x,y)->(ｘ0,ｙ0) f(x,y)＝ f(x0,y0)时
f(x,y) 在该点连续!
举个例子: f(x,y)=sinx 证明之在R^2上的连续性 设p(x0,y0)
已知在 存在E |x-x0|<E 有 |sinx - sinx0|<e e是任意正数
假如 存在E √(|x-x0|2+|y-y0|2) < E
则 |x-x0| < √(|x-x0|2+|y-y0|2) < E
则 |sinx-sinx0|<e
则 | f(x,y)-f(x0,y0) |< e 这证明了 f(x0,yo) 是f(x,y) 在(x,y) -> (x0,y0)的极限
也说明 f(x,y) 在(x0,y0)连续！ 又因为(x0,y0)在 R^2上。所以f(x,y)连续！
做几道题目：
求二元函数极限 lim(x,y)->(1,0) ln(x+ey)/√(x2+y2)