最长公共子序列问题
关于思路
因为比较菜所以只能写出dp的一些皮毛
我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列考虑最后一项
- Ax ＝ By
那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！
如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。因此L(x, y) = L(x - 1, y - 1) 最后接上元素t。可以得到LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1 - Ax ≠ By
仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。则t ≠ Ax和t ≠ By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！
（2.1）如果t ≠ Ax，则有L(x, y)= L(x - 1, y)，因为根本没Ax的事嘛。
LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
（2.2）如果t ≠ By,l类似L(x, y)= L(x , y - 1)
LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)
可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我们已经得到了什么结论：
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
这时一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？
显然，==一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！==所以我们有:
也可以用图示演示一波：
综上所以我们可以得到最关键的最核心的伪代码：
for x = 0 to n do
for y = 0 to m do
if (x == 0 || y == 0) then
LCS(x, y) = 0
else if (Ax == By) then
LCS(x, y) = LCS(x - 1,y - 1) + 1
else
LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))
注意： 我们这里使用了循环计算表格里的元素值，而不是递归，如果使用递归需要已经记录计算过的元素，防止子问题被重复计算。
关于代码
有了上面的分析就可以轻松解决最长公共子序列的问题了附上sdut oj上2080题最长公共子序列的代码：2080->最长公共子序列问题
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a):(b))//max函数定义方法一
int dp[505][505];
/*int max(int a, int b)//max函数定义方法二
{
if(a <= b)
return b;
else
return a;
}*/
int main()
{
int i, j, t, n, m;
char a[505], s[505];
while(~scanf("%s %s", a+1, s+1))//让字符串从1开始主要为了防止下标越界。
{
n = strlen(a+1);
m = strlen(s+1);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i <= n; i++)
{
for(j = 1; j <= m; j++)
{
if(a[i]==s[j])//如果字符对应相等直接让dp[i][j]前一个加一。
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else//如果不等就让它等于前一个里最大的那个。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
printf("%d
", dp[n][m]);
}
return 0;
}
现在问题来了，我们如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢？其实我们离真正的答案只有一步之遥！注意(2.1)和(2.2) ，当LCS(x – 1, y) ＝ LCS(x, y – 1)时，其实走哪个分支都一样，虽然长度时一样的，但是可能对应不同的子序列，所以最长公共子序列并不唯一。又一个类似的递推公式。可见我们在计算长度LCS(x,y)的时候只要多记录一些信息，就可以利用这些信息恢复出一个最长公共子序列来。就好比我们在迷宫里走路，走到每个位置的时候记录下我们时从哪个方向来的，就可以从终点回到起点一样。
方法就是回溯法，直接附上核心代码。
回溯法一：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 1002
char A[MAXN] = {0};
char B[MAXN] = {0};
char R[MAXN] = {0};
short dp[MAXN][MAXN] = {0};
//返回三个数的最大值
int max(int a, int b, int c)
{
if(a > b)
{
b = a;
}
return b > c ? b : c;
}
int main()
{
int i, j = 0, k;
scanf("%s %s", A + 1, B + 1);
for(i = 1; i <= strlen(A+1); i++)
{
for(j = 1; j <= strlen(B+1); j++)
{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + (A[i]==B[j] ? 1 : 0));
}
}
i--;
j--;
k = MAXN - 1;
while(i > 0 && j > 0)
{
if(A[i] == B[j])
{
R[k--] = A[i];
i--;
j--;
}
else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
{
i--;
}
else
{
j--;
}
}
printf( "%s
", R + k + 1);
return 0;
}
回溯法二：（我们开一个数组，struct node { int x， y；}； node pre[N][N];这里的pre[i][j]:表示谁到达的i, j，这样就直接敲个递归就出来了。）
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a):(b))
#define N 3000
int dp[N][N];
char a[N], s[N];
struct node
{
int x, y;
};
struct node pre[N][N];
void putLCS(int n, int m)
{
if(pre[n][m].x == -1 && pre[n][m].y == -1)
return;
putLCS(pre[n][m].x, pre[n][m].y);
if(pre[n][m].x == n-1 && pre[n][m].y == m-1)
printf("%c", a[n]);
}
int main()
{
int i, j, n, m;
while(~scanf("%s %s", a+1, s+1))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
n = strlen(a+1);
m = strlen(s+1);
for(i = 0; i <= n; i++)
{
for(j = 0; j <= m; j++)
{
pre[i][j].x = -1;
pre[i][j].y = -1;
}
}
for(i = 1; i <= n; i++)
{
for(j = 1; j <= m; j++)
{
if(a[i]==s[j])
{
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
pre[i][j].x = i-1;
pre[i][j].y = j-1;
}
else
{
if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
pre[i][j].x = i-1;
pre[i][j].y = j;
}
else
{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
pre[i][j].x = i;
pre[i][j].y = j-1;
}
}
}
}
//printf("%d
", dp[n][m]);
putLCS(n, m);
printf("
");
}
return 0;
}
当然我们也可以用标记变量法，用一个二维数组用于标识下标走向，而这里的flag[x][y]的值是指下标怎么到这个位置的（可以参照上面的图示里的箭头分析）。在采用倒推法构造出公共子序列。但一定记得规定一个取值方向（比如说：相等取上）因为最长的子序列有多个如果不定很容易敲的时候思路乱了，也可能因为我是个菜鸡。。。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[500],b[500];
int num[501][501]; ///记录中间结果的数组
int flag[501][501]; ///标记数组，用于标识下标的走向，构造出公共子序列
void getLCS(); ///采用倒推方式求最长公共子序列
int main()
{
scanf("%s %s", a, b);
memset(num,0,sizeof(num));
memset(flag,0,sizeof(flag));
int i,j;
for(i=1; i<=strlen(a); i++)
{
for(j=1; j<=strlen(b); j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1]) ///注意这里的下标是i-1与j-1
{
num[i][j]=num[i-1][j-1]+1;
flag[i][j]=1; ///斜向下标记
}
else if(num[i][j-1]>num[i-1][j])
{
num[i][j]=num[i][j-1];
flag[i][j]=2; ///向右标记
}
else
{
num[i][j]=num[i-1][j];
flag[i][j]=3; ///向下标记
}
}
}
printf("%d
",num[strlen(a)][strlen(b)]);
getLCS();
return 0;
}
void getLCS()
{
char res[500];
int i=strlen(a);
int j=strlen(b);
int k=0; ///用于保存结果的数组标志位
while(i>0 && j>0)
{
if(flag[i][j]==1) ///如果是斜向下标记
{
res[k]=a[i-1];
k++;
i--;
j--;
}
else if(flag[i][j]==2) ///如果是斜向右标记
j--;
else if(flag[i][j]==3) ///如果是斜向下标记
i--;
}
for(i=k-1; i>=0; i--)
printf("%c",res[i]);
}
最后说说现在对dp的浮浅认识：dp就是把原本很复杂不知道的解转化成已知的子问题，但问题在于如何转化，很自闭。以这题为例看到题该想到把到每个字母的最大子序列的值存起来，但不知道另一字符串对应的为多少就想到用二维数组保存起来，感觉有些类似于阶乘的感觉，求100的阶乘就求100*(99!),(99!)又是99*(98!)类推。
最后的最后安利点头网里面的教程很好很受用，文章中大部分都来自于他的教程。还有带我们学习的LJF学长，有他带着我们变强很好！
参考：
最长公共子序列问题（动态规划求解）；