[NOI2007]货币兑换题解

Problem

初始时有(m)的本金，已经知道之后(n)天内每一天(A)券与(B)券的价值，每一天可以买入或卖出金券。

卖出金券方法如下：自己提供一个([0,100])内的实数(OP)，意义为将(OP\%)的(A)券和(OP\%)的(B)券卖出。

买入金券方法如下：每一天给定一个(R)，自己给出一个买入的金额(IP)，满足买入(A)券与(B)券数量之比为(R)，总价值为(OP)。

求(n)天后拥有的最大总价值。

Solution

首先不难想到一个这样的策略，卖出金券时，一定全部卖出是最优的，这个感觉比较显然，有了这个，(OP)的限制就不存在了。

考虑DP，我们可以得到一个这样的转移方程：

(dp_i=max(dp_{i-1},maxlimits_{j=0}^{i-1}{A_i imes X_j+B_i imes Y_j}))，其中(X_i=frac{R_i imes dp_i}{R_i imes A_i+B_i},Y_i=frac{dp_i}{R_i imes A_i+B_i})。

表示第(i)天不操作，或者把第(j)天买入的金券全部卖出的最大价值。这是一个(O(n^2))的算法，能拿到60pts。

考虑如何去优化，看见式子中含与(i,j)有关部分之积(A_i imes dp_j)，发现这是一个典型的斜率优化。

忽略掉(max)符号，改写一下式子：(Y_j=-frac{A_i}{B_i}X_j+frac{dp_i}{B_i})，斜率已知，目标是最大化截距，可以维护一个上凸壳。

但是，我们发现每一次加入的点((X_i,Y_i))无论在横坐标上还是纵坐标上都不单调，无法简单的用单调队列维护，于是考虑用平衡树动态维护凸壳，来实现在任意位置插入及删除，总复杂度(O(nlogn))。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
#define DB double
using namespace std;
int n,m;
DB dp[100005];
DB A[100005],B[100005],R[100005],X[100005],Y[100005];

struct Splay{

    int root;

    DB Lk[100005],Rk[100005];

    int f[100005],son[100005][2];

    inline int which(int x){
        return son[f[x]][1]==x;
    }
    
    inline DB slope(int a,int b){
        if(abs(X[a]-X[b])<eps)
            return -DBL_MAX;
        return (Y[a]-Y[b])/(X[a]-X[b]);
    }
    
    inline void rotate(int x,int &goal){
        int fx=f[x],gx=f[fx],d=which(x);
        if(fx==goal)
            goal=x;
        else
            son[gx][which(fx)]=x;
        son[fx][d]=son[x][d^1];son[x][d^1]=fx;
        f[son[fx][d]]=fx;f[fx]=x;f[x]=gx;
        return;
    }

    inline void splay(int x,int &goal){
        while(x!=goal){
            int fx=f[x];
            if(fx!=goal)
                rotate(which(fx)==which(x)?fx:x,goal);
            rotate(x,goal);
        }
        return;
    }

    void insert(int x){
        if(!root){
            root=x;
            return;
        }
        int now=root,fx=0;
        while(now){
            fx=now;
            now=son[now][X[x]>X[now]+eps];
            if(!now){
                f[x]=fx;
                son[fx][X[x]>X[fx]+eps]=x;
            }
        }   
        return;
    }

    int findpre(int x){
        int now=son[x][0],ans=now;
        while(now){
            if(Lk[now]>=slope(x,now)+eps){
                ans=now;
                now=son[now][1];
            }
            else
                now=son[now][0];
        }
        return ans;
    } 

    int findsuf(int x){
        int now=son[x][1],ans=now;
        while(now){
            if(Rk[now]+eps<=slope(x,now)){
                ans=now;
                now=son[now][0];
            }
            else
                now=son[now][1];
        }
        return ans;
    }

    void Add(int x){
        splay(x,root);
        if(son[x][0]){
            int now=findpre(x);
            Lk[x]=Rk[now]=slope(x,now);
            splay(now,son[x][0]);
            son[now][1]=0;
        }   
        else
            Lk[x]=+DBL_MAX;
        if(son[x][1]){
            int now=findsuf(x);
            Rk[x]=Lk[now]=slope(x,now);
            splay(now,son[x][1]);
            son[now][0]=0;
        }
        else
            Rk[x]=-DBL_MAX;
        if(Lk[x]+eps<=Rk[x]){
            root=son[x][0];
            f[son[x][0]]=0;
            f[son[x][1]]=root;
            son[root][1]=son[x][1];
            Rk[root]=Lk[son[root][1]]=slope(root,son[root][1]);
        }
        return;
    }

    int find(DB k){
        int now=root;
        while(now){
            if(Rk[now]+eps<=k&&k+eps<=Lk[now])
                return now;
            else if(k<Rk[now]+eps)
                now=son[now][1];
            else if(k+eps>Lk[now])
                now=son[now][0];
        }
        return 0;
    } 

}T;

int main(){
    
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&m);

    for(register int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lf",&A[i]);
        scanf("%lf",&B[i]);
        scanf("%lf",&R[i]);
    }

    dp[0]=m;
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        int j=T.find(-A[i]/B[i]);
        dp[i]=max(dp[i-1],A[i]*X[j]+B[i]*Y[j]);
        Y[i]=dp[i]/(R[i]*A[i]+B[i]);X[i]=Y[i]*R[i];
        T.insert(i);T.Add(i);
    }

    printf("%0.3lf
",dp[n]);

    return 0;
}