题意
(混合图的欧拉回路判定)
给你一个既存在有向边, 又存在无向边的图. 问是否存在欧拉回路.
(N ≤ 200, M ≤ 1000)
题解
难点在于无向边. 考虑每个点的度数限制.
我们先对无向边任意定向, 现在每个点都有一个出度和入度的差; 而我们要求最终每个点出度和入度相等.
令它出度减去入度为 (deg) ，如果 (deg) 为奇数那么必不存在欧拉回路，因为每次我们修改一条边的定向，会使得入度 (+1) 出度 (-1) （或者相反）。那么变化后的 (deg) 总为奇数，就绝不可能成为 (0) 了。
然后接下来我们就需要判定之后改变边的定向能否满足要求。因为范围较小，我们继续可以联想到网络流。
首先我们建出超级源 (S) 、超级汇 (T) 。
- 把超级源向所有 (deg > 0) 的点 (p) 连上 (S o p) 流量为 (displaystyle frac{deg}{2}) 的边。
- 把所有 (deg < 0) 的点 (p) 向超级汇连上 (p o T) 流量为 (- displaystyle frac{deg}{2}) 的边。
- 把原图中存在的无向边我们连上 (u o v) 流量为 (1) 的边。注意此处连 (u o v) 的话，需要一开始假设最初的定向就是 (u o v) 使得
++ deg[u], -- deg[v];。
然后跑一遍网络流得到的流量如果和所有 (deg > 0) 的点的 (deg) 和相同，那么就是存在一组解的，否则就必不存在。
考虑为什么是这样的，因为我们每次流一条边，相当于把一条边 (u o v) 反向成 (v o u) ，使得给 (u) 的入度增加 (1) 出度减少 (1) ，所以 (deg) 会直接减少 (2) ，这就是为什么我们一开始流量为 (displaystyle |frac{deg}{2}|) 的原因。
如果满流的结果刚好是 (displaystylesum_{deg> 0} deg) ，意味着所有点都修改正确了。
总结
对于有向图欧拉回路的题，牢记 入度 (=) 出度 才存在的性质。
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("1637.in", "r", stdin);
freopen ("1637.out", "w", stdout);
#endif
}
int n, m;
const int N = 410, M = 5010, inf = 0x7f7f7f7f;
namespace Dinic {
int Head[N], Next[M], to[M], cap[M], e = 1;
inline void add_edge(int u, int v, int flow) { to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; cap[e] = flow; }
inline void Add(int u, int v, int flow) { add_edge(u, v, flow); add_edge(v, u, 0); }
int dis[N], S, T;
bool Bfs() {
queue<int> Q; Set(dis, 0); dis[S] = 1; Q.push(S);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front(); Q.pop();
if (u == T) return true;
for (int i = Head[u]; i; i = Next[i]) if (cap[i]) {
int v = to[i];
if (!dis[v]) dis[v] = dis[u] + 1, Q.push(v);
}
}
return false;
}
int cur[N];
int Dfs(int u, int flow) {
if (u == T || !flow) return flow;
int res = 0, f;
for (int &i = cur[u]; i; i = Next[i]) if (cap[i]) {
int v = to[i]; if (dis[v] != dis[u] + 1) continue ;
if ((f = Dfs(v, min(flow, cap[i])))) {
cap[i] -= f; cap[i ^ 1] += f;
res += f; if (!(flow -= f)) break;
}
}
if (!res || !flow) dis[u] = 0;
return res;
}
int Run() {
int sum_flow = 0;
while (Bfs()) Cpy(cur, Head), sum_flow += Dfs(S, inf);
return sum_flow;
}
}
using namespace Dinic;
int deg[N];
inline bool IsOdd() { For (i, 1, n) if (deg[i] & 1) return true; return false; }
int main () {
File();
for (int cases = read(); cases; -- cases) {
n = read(); m = read(); e = 1;
For (i, 1, n + 2) Head[i] = deg[i] = 0;
For (i, 1, m) {
int u = read(), v = read(), type = read();
++ deg[u]; -- deg[v];
if (!type) Add(u, v, 1);
}
if (IsOdd()) { puts("impossible"); continue ; }
S = n + 1, T = S + 1; int tot = 0;
For (i, 1, n) {
if (deg[i] > 0) Add(S, i, deg[i] >> 1), tot += deg[i] >> 1;
if (deg[i] < 0) Add(i, T, (- deg[i]) >> 1);
}
puts(Run() == tot ? "possible" : "impossible");
}
return 0;
}