题目大意
将一个(n*m)的01矩阵沿着列切几刀，拆成若干个(n*w_i)大小的矩阵，你可以重新任意排列它们来拼成一个新的(n*m)的01矩阵，使得矩阵中最大的全0矩形面积最大。
Solution
这题关键在于(n*mleq 10^5)，即矩阵大小不超过(10^5)。一种直觉是平衡规划，即分(nleq sqrt{10^5})和(mleq sqrt{10^5})两种情况分别设计算法。
- (nleq sqrt{10^5})
枚举最终全0矩形的上下边界(l,r)，然后对每个小矩阵分类。若小矩阵内第(l)行至第(r)行全部为0，分为I类，否则分为II类。
最后肯定是把I类的矩阵放在中间，两边放II类的矩阵来凑成一个全0矩形，那么，我们需要计算I类矩阵宽度之和，以及II类矩阵在左边最多几列为全0，右边最多几列为全0。需要注意的是，左右不能用II类矩阵中的同一个，所以我们还要记录一下次大值，不能用最大值时用次大值替换。
时间复杂度(O(n^2m)=O(10^5n))，(n)是根号级别的，显然不会超时。
- (mleq 10^5)
这时就不能直接枚举矩形的上下边界了，我们可以用另一种方法枚举上下边界：
记录矩形中每个点((i,j))往上第一个(1)的行号（记作(up[i][j])）。枚举矩形中的每个点((i,j))，将(up[i][j])作为上边界，(i)作为下边界。（替换了原来暴力枚举的上边界(r)，下边界(l)）
剩下的过程套用上面的即可，时间复杂度(O(nm^2)=O(10^5m))，(m)是根号级别的，也不会超时。
至此，问题解决。
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100007;
int T;
int s,n,m,ans,w[N],st[N],en[N],sum[N],a[N],up[N];
int id(int x,int y){
if(x<1||y<1)return 0;
return (y-1)*n+x;
}
int get(int x1,int x2,int y1,int y2){
return sum[id(x2,y2)]-sum[id(x1-1,y2)]-sum[id(x2,y1-1)]+sum[id(x1-1,y1-1)];
}
void calc(int l,int r){
for(int i=1;i<=s;++i)for(int j=st[i],ret=0;j<=en[i];++j){
if(get(l,r,j,j)==0)++ret;
else ret=0;
ans=max(ans,(r-l+1)*ret);
}
int L[2][2],R[2][2],mid=0;
memset(L,0,sizeof(L));
memset(R,0,sizeof(R));
for(int i=1;i<=s;++i){
int mxl=0,mxr=0;
for(int j=st[i];j<=en[i];++j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxl;else break;
for(int j=en[i];j>=st[i];--j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxr;else break;
if(mxl==w[i])mid+=w[i];
else{
if(mxl>L[0][0])L[0][0]=mxl,L[0][1]=i;
else if(mxl>L[1][0])L[1][0]=mxl,L[1][1]=i;
if(mxr>R[0][0])R[0][0]=mxr,R[0][1]=i;
else if(mxr>R[1][0])R[1][0]=mxr,R[1][1]=i;
}
}
for(int p=0;p<2;++p)for(int q=0;q<2;++q)if(L[p][1]!=R[q][1])ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[p][0]+R[q][0]));
ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[0][0]));
ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+R[0][0]));
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
m=ans=0;
scanf("%d%d",&s,&n);
memset(w,0,sizeof(w));
memset(st,0,sizeof(st));
memset(en,0,sizeof(en));
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(a,0,sizeof(a));
memset(up,0,sizeof(up));
for(int i=1;i<=s;++i){
scanf("%d",&w[i]);
st[i]=m+1;
for(int j=1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=w[i];++k){
char c;scanf(" %c",&c);
a[id(j,m+k)]=c-'0';
}
m+=w[i],en[i]=m;
}
for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)sum[id(i,j)]=sum[id(i-1,j)]+sum[id(i,j-1)]-sum[id(i-1,j-1)]+a[id(i,j)];
for(int j=1;j<=m;++j)
for(int i=1,lst=0;i<=n+1;++i)
if(i>n||a[id(i,j)]){
for(int k=lst+1;k<=i-1;++k)up[id(k,j)]=i-1;
lst=i;
}
if(n<m)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)calc(i,j);
else for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)calc(i,up[id(i,j)]);
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}