蓝桥杯-算法训练--ALGO-5 最短路

问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

一开始的时候规模少看了一个零（ = = ！！）

用了写起来比较简单的floyd算法自己变形了一下，以下错误代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 20001;
int floyd[MAXN][MAXN];
int main(){
    int m, n;
    memset(floyd, 2, sizeof(floyd));
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++){
        int from, to, value;
        cin >> from >> to >> value;
        floyd[from][to] = value;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 1; k <= n; k++){
            if (floyd[1][k] + floyd[k][j] < floyd[1][j])
                floyd[1][j] = floyd[1][k] + floyd[k][j];
        }
    for (int m = 2; m <= n; m++)
        cout << floyd[1][m] << endl;
    return 0;
    }

上网查了一下发现SPFA算法，利用队列优化了一下。

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）（队列优化）算法是求单源最短路径的一种算法，它还有一个重要的功能是判负环（在差分约束系统中会得以体现），在Bellman-ford算法的基础上加上一个队列优化，减少了冗余的松弛操作，是一种高效的最短路算法。

算法大致思路：

　　s表示源点

　　利用dist[x]表示从源点s到x的最短距离

　　用Q队列来保存需要处理的结点

　　用inQueue[x]保存点x是否在队列中

　　初始化：dist[]数组全部赋值为无穷大，比如INT_MAX（一定要足够大，我一开始就是给小了所以有些数据错了）

　　dist[s] = 0

开始算法：队列+松弛操作

　　读取Q队首元素并出队（记得把inQueue[Q.top()]置为false）

　　对与队首结点相连的所有点v进行松弛操作（如果源点通过队首结点再到结点v的距离比源点直接到v的距离要短，就更新dist[v]，并且如果inQueue[v] == false 即V当前不在队列中，则v入队,当队列Q为空时，判断结束）

代码如下：

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<queue>
    using namespace std;
    const int MAXN = 20001;
    const int MAXL = 200001;
    const int INF = INT_MAX;   
    int dist[MAXN];          //dist[x]表示从源点到x所需的最短距离，初始为INF
    int head[MAXN];
    int M;      //边的索引
    bool inQueue[MAXN];
    queue<int> Q;           //队列Q用来存放可松弛周围结点的结点
    struct Edge{
        int value;
        int to;
        int next;
    }edge[MAXL];                   //采用链式前向星存储边集

    //构建边集合
    void add(int from, int to, int value){
        edge[M].to = to;
        edge[M].next = head[from];
        edge[M].value = value;
        head[from] = M++;
    }

    //SPFA算法
    void SPFA(int start){
        dist[start] = 0;             //源点到自己的距离为0
        Q.push(start);
        inQueue[start] = true;
        while (!Q.empty()){
            int temp = Q.front();        //取队头元素
            Q.pop();
            for (int j = head[temp]; j != -1; j = edge[j].next){
                int toNode = edge[j].to;
                if (dist[toNode] > dist[temp] + edge[j].value){        //本题保证无负环，否则需要利用一个数组判断j是否入队超过n次    
                    dist[toNode] = dist[temp] + edge[j].value;
                    if (!inQueue[toNode]){
                        Q.push(toNode);
                        inQueue[toNode] = true;
                    }
                }
            }
            inQueue[temp] = false;
        }
    }
    int main(){
        memset(head, -1, sizeof(head));
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i++){         //初始化
            dist[i] = INF;
            inQueue[i] = false;
        }
        for (int p = 1; p <= m; p++){
            int from, to, value;
            scanf("%d%d%d", &from, &to, &value);            //用cin速度好像要慢一倍= =
            add(from, to, value);
        }
        SPFA(1);
        for (int x = 2; x <= n; x++){
            printf("%d
", dist[x]);
        }
        return 0;
    }