自然對數（ln）

前一個章節我們在理解指數函數；接下來我們的目標是自然對數。

數學中給定的自然對數的定義，其中有著「自然」的一部分：它被定義為e^x的反函數。雖然e^x本身就夠奇怪了。

但是還有一種新鮮的，更加直觀的解釋：自然對數告訴你增長到一定值需要花費多少時間。

假設你投資了幹貝熊軟糖（誰沒有啊？），其中利潤率為100%，連續增長。如果你想獲得十倍的收入，假設它是按照複利計算的，那麼你隻需要ln（10）也就是2.302年就可以達到這一目標。不明白為什麼這麼多年就可以得到10倍的回報？再讀一讀前一章吧。

e跟自然對數是雙胞胎：

e^x是連續複合增長經過一段時間後所達到的數值。

自然對數ln是達到一定值，連續增長所需要的時間。

這個結果不錯吧？當數學家們用冗長的，技巧化的解釋讓你困惑的時候，還是讓我們繼續深入到這個直觀化的解釋中去吧。

8.1 e是關於增長的

數字e是關於連續增長的。正如我們之前所瞭解到的，e^x讓我們把時間與增長率結合起來：連續複合增長的情況下，100%的增長率經過三年跟300%的增長率經過一年的效果一樣。

我們可以使用任何時間與增長率的組合（50%的增長率增長4年），而且可以轉化為更舒服的100%的增長率（100%的增長率增長兩年就可以了）。把增長率轉化為100%後，我們隻需要考慮時間就可以了：

e^x＝e^{增長率‧時間}＝e^1‧時間＝e^時間

直觀化的看的話，e^x就是：

經過x單位時間後能增長多少（以100%的增長率進行連續增長）
舉個例子：三個單位時間後就原來東西可以增長到e³＝20.08倍多。

e^x就是一個比例係數，它告訴我們經過x單位時間後東西可以增長到多少。

8.2 自然對數是關於時間的

自然對數正好與e相反，一種非常好的形式。說到非常好，ln就是拉丁文logarithmus naturali的縮寫。

現在讓我們來看看相反意味著什麼？

e^x讓我們通過時間計算增長

ln（x）讓我們通過增長計算所耗時間

舉例如下：

e³是20.08。經過3個單位時間後，我們得到了原來的東西的20.08倍。

ln(20.08)大約等於3，如果我們想增長到20.08倍，那麼我們就需要等3個單位時間（註意，我們假設連續增長率為100%）

通過我？自然對數告訴我們增長到一定值需要花費多長時間。

8.3 對數運算並不普通

你之前學過對數，它們確實很奇怪。它們怎麼會把乘法變為加法？除法變為減法呢？讓我來仔細看看。

ln(1)等於多少呢？直觀看來，這個問題就是：我花多長時間能增長到1倍大小呢？

0。你現在已經是1倍大小了！從1增長到1並不需要花任何時間。

ln(1)=0

OK，如果是一個分數呢？如何增長到現在的1/2呢？假設你的連續增長率是100%，我們知道ln(2)就是增長兩倍所需要花費的時間。如果我們把這個過程反過來（比如說取負時間），我們就得到了一半的值。

ln(0.5)=-ln(2)=-0.693

明白了吧？如果我們往回看（負時間）0.693秒，我們就得到了現在一半的值。一般來說，你可以把分數翻轉然後取負即可：ln(1/3)=-ln(3)=-1.09。這就是說如果時間往回1.09個單位，我們就得到了現在值的1/3。

OK，如果是一個負數的自然對數呢？細菌從1增長到-3需要花費多長時間呢？

這是不可能的！你能有「負數」個細菌嗎，不能吧？你最多（最少）也就是有0個細菌，但是你沒辦法擁有負數個細菌吧。負數個細菌沒有任何意義

ln(負數)＝無定義

無定義意味著「沒有一個時間供你等待」其增長到負數（在歐拉公式中我們還將討論這一問題）。

8.4 對數乘法樂趣多多

花多長時間可以增長到現有值的四倍呢？沒問題，我們隻需要計算ln(4)就可以了。但是這太簡單了，讓我們增加點難度。

我們可以把4倍看作是翻倍一次（花費ln(2)的時間一次），然後再翻倍一次（再花費ln(2)的時間一次）：

增長到四倍所需要的時間＝ln(4)=兩次翻倍所用的時間＝ln（2）+ln（2）

有意思吧。任何增長值，比如說20，可以看作是翻倍一次然後再十倍一次，也可以看作是4倍一次再五倍一次。或者是3倍一次，然後再6.66666倍一次。看到其中的規律了嗎？

ln(a‧b)＝ln（a）+ln（b）

a乘以b的對數＝log(a)+log(b)。當你把它們當作增長需要的時間後就很容易想通了。

如果我們想增長到30倍，我們可以直接等ln（30）長的時間，也可以先等ln（3）長的時間讓它增長到3倍，然後再等ln（10），再讓它增長十倍。最終效果是一樣的，所以最終花費的時間也是一樣的（事實確實如此）。

那麼除法呢？ln（5/3）就是說：增長到5倍，然後隻取其中的三分之一需要花費多長時間呢？

好吧，增長到5倍需要花費的時間是ln(5)。增長1/3花費的時間就是-ln(3)。那麼結果就是：

ln（5/3）=ln(5)-ln(3)

這就是說：增長5倍所用的時間，然後時間再往回退，知道達到1/3的增長，最後你還有5/3的增長。更一般化的表述就是：

ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

我希望現在你能理解奇怪的對數運算：乘法就是把時間相加，除法就是把時間減去。不要去背誦規則，而是要理解它們。

8.5 使用任何增長率的自然對數

「是的，」你可以說，「這些關於對數的東西對100%的增長率適用，對50%的增長率呢？」

完全沒有問題。我們在ln（）中使用的「時間」其實是時間與增長率的組合，x來自於我們的e^x方程。我們假設為100%隻是為了簡單，但是其實我們可以使用其他數字。

假設我們希望達到30倍的增長：帶入方程中就是ln(30)，結果是3.4。這就是說：

e^x＝增長

e^3.4＝30

直觀化的看這個方程是以100%的增長來考慮的。

但是我們也可以這樣看這個方程：

e^x＝e^{增長率‧時間}

e^{100%‧3.4年}＝30

我們可以修改「時間」與「增長率」，就以時間×增長率＝3.4為例，我們可以有：

100%的增長率增長4年＝3.4‧1.0＝3.4

200%的增長率增長2年＝1.7‧2.0＝3.4

50%的增長率增長7年＝6.8‧0.5＝3.4

5%的增長率增長68年＝68‧0.5＝3.4

很酷吧？自然對數可以適用於任何增長率與時間，隻要它們的乘積相同。你可以隨意調整這些變量。

8.6 非常棒的例子：72法則

72法則（http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72）是一種快捷的心算法來幫助你計算花多少時間可以讓你的錢翻倍。我們將把它衍生一下，甚至讓它更好，我們以一種更直觀化的角度來理解它。

在100%的增長率下按年進行複合增長，需要花多長時間可以讓你的錢翻倍呢？

哦，之前我們的討論一直是侷限在連續的增長，現在你要讓我計算年利？這不會讓我們的公式變得更麻煩嗎？對，確實會這樣，但是但是在一些利率下，比如說5%，6%甚至是15%，年利與連續利息其實並沒有太大不同。所以一個大概的公式就可以了，在一種粗略的情況下我們把它們當作完整的連續增長就可以了。

現在問題就很簡單了：在100%的增長率時我們需要花多長時間才可以翻倍？ln(2)=0.693。大概就是0.693個單位時間（在這裡是一年）吧就可以讓你的錢翻倍了。

OK，如果我們的增長率不是100%而是5%或10%呢？

很簡單。隻要時間×增長率＝0.693，我們的錢就會翻倍：

時間‧增長率＝0.693

時間＝0.693/增長率

那麼，如果我們隻有10%的增長率，隻需要計算0.693/10%也就是6.93年就可以讓我們的錢翻倍。

為了做一些簡化，讓我們乘以100，這樣就可以避免0.1而可以討論10了

翻倍所用時間＝69.3/增長率，這裡假設增長率用百分數表示

那麼5%的增長率下，翻倍所用的時間就是69.3/5也就是13.86年了。然而69.3並不容易進行除法。讓我們就選擇一個與它很接近的數來代替，比如說可以被2，3，4，6，8等整除的72吧。

翻倍所用的時間＝72/增長率

這就是72法則！很簡單吧。

如果你想知道花多少時間能讓你增長到3倍，你隻需用ln(3)約等於109.8，這樣你就可以得到：

增長三倍所用的時間＝110/增長率

這又是一個很有用的法則。72法則在利率計算，人口計算，細菌培養以及其他涉及到指數增長的方面都有很廣泛的用處。

8.7 從這裡可以到哪裡呢？

我希望自然對數能有更多意義——它告訴指數增長增長到任一確定的值所需要的時間。我認為正是因為它是指數增長的一個通用數值，所以它才被稱為「自然」，那麼ln就可以幫我們找出需要多少來增長的一個通用函數了。

當你看到ln(x)時，隻要想到「增長到x所要用的時間」就好了。

8.8 附錄：e的自然對數

小謎題：ln(e)等於多少？

數學機器人告訴你：因為它們互為相反函數，所以很顯然ln(e)=1

具有直覺的人類：ln(e)就是增長到e（大概是2.718）所要花費的時間。但是e是經過一單位時間所能增長到的數值，所以ln(e)=1。

直觀化的思考。

《更好的解释（数学篇）》——第八章