1已给出一个函数的表达式 $F(x)$, 其为 $f(x)$ 的原函数, 求 $dps{int xf(x) d x}$.
解答: $$eex ea int xf'(x) d x &=int x d f(x)\ &=xf(x)-int f(x) d x\ &=xF'(x)-F(x). eea eeex$$
2已知 $$ex sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_i=0. eex$$ 试证: $$ex ls{n}sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_isqrt{n+i}=0. eex$$
证明: $$eex ea ls{n}sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_isqrt{n+i} &=ls{n}sum_{i=1}^{2k-1}(-1)^{i-1}a_isqrt{n+i} -a_{2k}sqrt{n+2k}\ &=ls{n}sum_{i=1}^{2k-1}(-1)^{i-1}a_isqrt{n+i} -sum_{i=1}^{2k-1}(-1)^{i-1}a_isqrt{n+2k}\ &=ls{n}sum_{i=1}^{2k-1} (-1)^ia_isex{sqrt{n+i}-sqrt{n+2k}}\ &=sum_{i=1}^{2k-1} (-1)^{i-1}a_ils{n} frac{i-2k}{sqrt{n+i}+sqrt{n+2k}}\ &=0. eea eeex$$
3证明 $sqrt{3}$ 是无理数, 运用这个结论, 证明任意不同的有理数之间一定存在某个无理数.
证明:
(1)用反证法. 若 $sqrt{3}=p/q, p,qinbZ^+, (p,q)=1$, 则 $$ex 3q^2=p^2, mp+nq=1 a qmid mcdot 3q^2+npq=mp^2+npq=p. eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.
(2)对 $forall r_1,r_2inbQ, r_1<r_2$, 由 $dps{ls{n}frac{sqrt{3}}{n}=0}$ 知当 $n$ 充分大时, $$ex frac{sqrt{3}}{n}<r_2-r_1 a r_1<r_1+frac{sqrt{3}}{n}<r_2, eex$$ 而且 $dps{r_1+frac{sqrt{3}}{n}}$ 为无理数.
4设 $$ex ls{u}f(u)=A,quad lim_{x o a}g(x)=infty. eex$$ 试证: $$ex lim_{x o a}f(g(x))=A. eex$$
证明: 由 $dps{ls{u}f(u)=A}$ 知 $$ex forall ve>0, exists U>0,st u>U,mbox{ 有 }|f(u)-A|<ve. eex$$ 又由 $dps{lim_{x o a}g(x)=infty}$ 知 $$ex exists delta>0,st 0<|x-a|<delta,mbox{ 有 }g(x)>u. eex$$ 于是当 $0<|x-a|<delta$ 时, $$ex |f(g(x))-A|<ve. eex$$ 此即 $dps{lim_{x o a}f(g(x))=A.}$
5设 $$ex f_n(x)=sedd{a{ll} 1,&-1leq x<-1/n\ cosfrac{npi x}{2},&-1/nleq xleq 1/n\ 2,&1/n<xleq 1 ea}. eex$$ 讨论 $f_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的一致收敛性.
解答: 由 $$ex ls{n}f_n(x)=sedd{a{ll} 1,&-1leq x<0\ 0,&x=0\ 2,&0<xleq 1 ea} eex$$ 的不连续性即知 $f_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上不一致收敛.
6设 $$ex F(x)=sedd{a{ll} frac{f(x)-f(0)}{x},&x eq 0\ f'(0),&x=0 ea}, eex$$ 且 $f''(x)$ 在原点附近存在且在原点处连续. 证明 $F(x)$ 的导函数在原点处连续, 且 $F'(0)=f''(0)/2$.
证明: 当 $x eq 0$ 时, $$ex F'(x)=frac{f'(x)x-[f(x)-f(0)]}{x^2}. eex$$ 当 $x=0$ 时, $$ex F'(0)=lim_{x o 0}frac{F(x)-F(0)}{x} =lim_{x o 0}frac{f(x)-f(0)-f'(0)x}{x^2} =lim_{x o 0}frac{f'(x)-f'(0)}{2x} =frac{1}{2}f''(0). eex$$ 又由 $$eex ea lim_{x o 0}F'(x) &=lim_{x o 0} frac{f'(x)x-[f(x)-f(0)]}{x^2}\ &=lim_{x o 0}frac{f''(x)x}{2x}\ &=frac{1}{2}f''(0)\ &=F'(0) eea eeex$$ 知 $F'$ 在原点处连续.
7设 $f(P)$ 在 $bR^2$ 上连续, $dps{lim_{|x| o +infty}f(P)}$ 存在. 试证 $f(P)$ 在 $bR^2$ 上有界, 且一致连续.
证明: 直接仿照一维的情形. 参考如下题目: 设函数 $f:bR o bR$ 连续, 极限 $dps{lim_{|x| oinfty}f(x)}$ 存在并且有限. 证明 $f$ 在 $bR$ 上一致连续. 由 $dps{lim_{|x| oinfty}f(x)}$ 存在并且有限及 Cauchy 准则知 $$eelabel{258.3:1} forall ve>0, exists A>0, st |x'|,|x''|geq A,mbox{ 有 }|f(x')-f(x'')|<ve. eee$$ 又 $f$ 在 $[-A-1,A+1]$ 上连续, 而一致连续: $$eelabel{258.3:2} exists deltain (0,1), |x'|,|x''|leq A+1, |x'-x''|<delta,mbox{ 有 }|f(x')-f(x'')|<ve. eee$$ 故当 $x',x''in bR, x'<x'', |x'-x''|<delta$ 时,
(1)$x'<-A-1 a x''<-A a |f(x')-f(x'')|<ve$ (由 eqref{258.3:1});
(2)$-A-1leq x'<A a -A-1<x''<A+1 a |f(x')-f(x'')|<ve$ (由 eqref{258.3:2});
(3)$x'geq A a x''>A a |f(x')-f(x'')|<ve$ (由 eqref{258.3:1}).
8设 $$ex f(x,y)=sedd{a{ll} (x^2+y^2)sinfrac{1}{sqrt{x^2+y^2}},&(x,y) eq (0,0)\ 0,&(x,y)=(0,0). ea} eex$$ 试证: $f(x,y)$ 在原点可微, 偏导数在原点不连续.
证明: 求出偏导数, 直接按照定义证明即可.
9设 $C$ 为空间上的按段光滑闭曲线, $f(x),g(y),h(z)$ 连续. 试证: $$ex oint_C [f(x)-yz] d x +[g(y)-xz] d y +[h(z)-xy] d z=0. eex$$
证明: 由 Stokes 公式知 $$ex mbox{原积分}=iint_Ssev{a{ccc} d y d z& d z d x& d x d y\ frac{p}{p x}&frac{p}{p y}&frac{p}{p z}\ f(x)-yz&g(y)-xz&h(z)-xy ea}=0. eex$$