1 ($9' imes 5=45'$) 求解下列 ODE:
(1)$dps{frac{d y}{d x}=frac{2x-y+1}{x-2y+1}}$;
(2)$dps{(y^2+2xy) d x-x^2 d y=0}$;
(3)$dps{x^2+sex{y'}^2=4}$;
(4)$dps{x''+4x=tsin 2t}$;
(5)$dps{(eta x+alpha y) d x+(eta y-alpha x) d y=0}$, 其中 $alpha,eta$ 为常数且 $eta eq 0$.
3 ($11'$) 求一曲线, 使其上任一点的切线斜率等于该切线的横截距(设切线斜率不为零).
4 ($11'$) 求一阶 ODE $$ex frac{ d y}{ d x}+ay=f(x) eex$$ 的以 $2pi$ 为周期的解, 其中 $a>0$ 为常数, $f(x)$ 是以 $2pi$ 为周期的连续函数.
5 ($10'$) 求满足下列积分方程的的函数 $y(x)$: $$ex y(x)=1+x^2+2int_0^x y(t) d t. eex$$
6 ($12'$) 考虑初值问题 $$ex left{a{ll} frac{ d y}{ d x}=x^2-y^2,&sev{x+1}leq 1, sev{y}leq 1\ y(-1)=0 ea ight. eex$$ 试求解的存在区间, 并给出第二次近似解, 及解在存在区间上的误差估计.
7 ($11'$) 考虑二阶线性 ODE $$ex frac{ d^2y}{ d x^2}+p(x)frac{ d y}{ d x}+q(x)y=f(x), eex$$ 其中 $p(x),q(x),f(x)$ 为 $(a,b)$ 的连续可微函数. 问当 $p(x),q(x)$ 满足什么条件时, 方程可经过适当的变换 $y=varphi(x)z$ 化为不含一阶导数项的常系数线性 ODE? 并求解 $$ex 4y''+4xy'+x^2y=0. eex$$